class="p1">%
%
А
8
0,1
5
— 0,300
0,38
В
16,7
0,208
5
— 0,563
0,29
В результате расчётов установлено, что вероятности пониженной доходности портфелей и соответственно составляют и. Таким образом, в данном случае равноценные портфели и по уровню вероятности отрицательной доходности неравноценны по уровню пониженной доходности, причём портфель привлекательнее портфеля.
Следует отметить, что, как уже отмечалось, вероятность пониженной доходности безрискового актива всегда равна нулю, а вероятность пониженной доходности рискованного актива всегда превышает нулевое значение. Поэтому сопоставление безрискового актива с рискованным активом по уровню вероятности пониженной доходности не представляется возможным
8.4. Равноценные рискованные активы по структуре денежных потоков
Анализ основных закономерностей нормального и усечённого нормального распределений (см. п.п. 7.1 и 7.2), показывает, что в качестве критерия сопоставления рискованных активов может служить структура денежных потоков, которые формируются областями положительной и отрицательной доходности.
Предположим, что области положительной и отрицательной доходности актива генерируют денежные потоки соответственно и, а актива — и. Если количество активов в портфелях и соответственно составляет и, то идентичность денежных потоков этих портфелей достигается при выполнении условий
Преобразуем эту систему уравнений к виду
где и — математические ожидания доходов активов и соответственно; и — параметры, характеризующие структуру денежных потоков активов и соответственно.
В результате решения данной системы уравнений приходим к выводу, что условие равноценности двух рискованных активов и по структуре денежных потоков определяется как
Целесообразно отметить, что рост МО доходности актива или уменьшение СКО доходности этого же актива приводят к одному и тому же эффекту — уменьшению значений показателя. Поэтому актив предпочтительнее актива, если выполняется неравенство.
Таким образом, показатель может использоваться в качестве комплексного критерия сопоставления рискованных активов.
Обобщая условие равноценности двух рискованных активов, приходим к выводу, что равноценной является совокупность активов с равными параметрами. При фиксированном значении зависимость представляет собой уравнение равноценных активов по структуре денежных потоков.
При выполнении условий (7.19) и (7.20), имеет место равенство. На рис. 8.6 представлены графики зависимости, рассчитанные методом последовательных приближений с использованием формулы (7.18) применительно к активам с нормальной плотностью распределения дохода.
Рис. 8.6. Линии равноценных активов по структуре денежных потоков при нормальной плотности распределения дохода
На основе анализа соотношений (7.7) и (7.18) для и соответственно, а также графиков на рис. 8.6, можно сформулировать следующие положения.
Во — первых, параметры и изменяются в диапазоне от –0,5 (при положительном значении МО доходности) до +0,5 (при отрицательном значении МО доходности). Рост СКО доходности от нуля до бесконечности, как уже отмечалось (см. п.п. 7.1 и 7.2) приводит к росту параметров и от –0,5 до +0,5. То есть рост СКО доходности приводит к изменению структуры денежных потоков — вклад области положительной доходности в формировании дохода портфеля снижается, а вклад области отрицательной доходности — увеличивается.
Во — вторых, при, что является свойством безрисковых активов, денежный поток в области отрицательной доходности отсутствует, поэтому. В этом случае линия равноценных активов совпадает с осью ординат. Следовательно, структура денежных потоков всех безрисковых активов независимо от их доходности идентична и по этой причине не может быть использована для сопоставления безрисковых активов с рискованными активами.
В — третьих, при достаточно малых значениях, когда
и
параметр, а линия равноценных активов описывается линейной функцией
где — аргумент интеграла вероятностей, который определяется из неявного выражения.
Следовательно, при достаточно малых значениях линии равноценных активов по структуре денежных потоков и по уровню вероятности отрицательной доходности практически совпадают.
В — четвёртых, при относительно больших значениях, когда допустимо использование приближённых соотношений приложения 2,
Следовательно, при и фиксированном значении параметра линия равноценных активов определяется как решение квадратного уравнения
Откуда
В — пятых, из рис. 8.6 следует, что траектория линии равноценных активов по структуре денежных потоков зависит от значения показателя. Данное свойство может быть использовано для выявления портфеля с наилучшей структурой денежных потоков. На рис. 8.7 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню параметра, которая является касательной в точке к эффективному множеству.
Рис. 8.7. Линия равноценных активов по уровню параметра, как касательная в точке к достижимому множеству портфелей
В результате расчётов установлено, что касательный портфель обладает минимальным значением параметра из достижимого множества. Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем —.
Параметры и могут быть использованы для сопоставления двух активов и, когда один из них является эталоном (или ориентиром).
Предположим, что имеются два портфеля активов и с нормальными плотностями распределения доходов и характеристиками, приведенными в табл. 8.3. Параметры портфелей целенаправленно подобраны таким образом, чтобы оба портфеля имели одинаковые МО доходности и отличались только СКО доходности и. В соответствии с портфельной теорией Г.Марковица — У.Шарпа портфель является менее «рискованным» и, поэтому более привлекательным. В этой же таблице приведены результаты расчётов параметра портфелей и.
Таблица 8.3
Результаты расчёта параметра портфелей и
Портфель
тыс.
долл.
тыс.
долл.
тыс.
долл.
А
108
100
10
— 0,315
В
108
100
20
— 0,224
Анализ табл. 8.3 показывает, что при одинаковых МО доходностей портфели и заметно отличаются структурой денежных потоков. Причём вклад положительной области доходности в формирование дохода портфеля более значителен, чем портфеля. Поэтому портфель, действительно, предпочтительнее портфеля.
Если стоимость покупки портфеля была бы снижена со 100 до 94,1 тыс. долл. и тем самым повышены его МО доходности до и СКО доходности до, то выполнялось бы равенство. Следовательно, портфели и обладали бы идентичной структурой денежных потоков и являлись равноценными.
В табл. 8.4 приведены параметры портфелей и, равноценных по структуре денежного потока, а также для сравнения результаты расчётов вероятности отрицательной доходности и вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки 5 %.
Таблица 8.4
Результаты расчёта вероятностей и относительно безрисковой ставки 5 % для портфелей и, равноценных по структуре денежных потоков
Портфель
тыс.
долл.
тыс.
долл.
тыс.
долл.
Результаты расчётов
А
108
100
10
— 0,315
0,21
0,38
В
108
94,1
20
— 0,315
0,24
0,32
Анализ результатов расчётов, приведенных в табл. 8.4, показывает:
портфели и равноценны по структуре денежных потоков;
портфель предпочтительнее портфеля по вероятности отрицательной доходности;
портфель предпочтительнее портфеля по вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки 5 %.
Таким образом, сопоставление портфелей с использованием рассмотренных критериев не
