Авинаш Диксит - Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

Задача для тренировки мышления № 4

Если США не предпримут стратегический ход, дерево игры будет выглядеть так:

Если бы Советский Союз оккупировал Западную Европу, репутация Соединенных Штатов пострадала бы, если бы они приняли это как свершившийся факт, не предприняв ничего в ответ. Однако США потерпели бы военное поражение, понесли большие потери и, возможно, в еще большей степени подорвали свой авторитет, если бы попытались ответить, применив обычное оружие, поскольку советская армия была многочисленнее и меньше заботилась о потерях. Еще более серьезное поражение США потерпели бы и в случае применения ядерного оружия, поскольку в ответ на это Советский Союз атаковал бы Соединенные Штаты своими ядерными бомбами. Следовательно, для США наименее неблагоприятный ответный ход сводится к тому, чтобы оставить Западную Европу на произвол судьбы. Если вам кажется, что это маловероятный сценарий, подумайте о том, что европейские члены НАТО считали его вполне вероятным и настаивали на том, чтобы США взяли на себя достоверное обязательство как-то отреагировать на происходящее. Угроза США: «Мы применим ядерное оружие, если вы атакуете Западную Европу», – отсекает первые две ветви дерева игры, начиная от того узла, в котором США выбирают свои действия. В итоге дерево игры будет таким:

Теперь, если Советский Союз пойдет на оккупацию Западной Европы, его ждет ответный ядерный удар с выигрышем –100. Следовательно, Советскому Союзу целесообразно принять статус-кво, который даст ему менее неблагоприятный выигрыш – 0. В главах 6 и 7 говорится о том, как США могут сделать свою угрозу достоверной.

Стоимость билетов первого класса (215 долларов) ниже той цены, которую готовы заплатить пассажиры, совершающие деловые поездки (300 долларов). Следовательно, ограничение участия выполнено. Туристы получают нулевой выигрыш потребителя (140–140 = 0) от покупки билетов первого класса. Следовательно, они не захотят воспользоваться другим тарифом, а значит, ограничение совместимости стимулов тоже выполнено.

На аукционе Викри вы вообще не захотите платить за то, чтобы узнать цену, которую предлагают другие участники торгов. Помните: предложение цены, соответствующей той ценности, которую представляет для вас предмет торгов, – доминирующая стратегия в аукционе Викри. Следовательно, вам необходимо предлагать одну и ту же цену независимо от того, что вы выясните о цене других участниках торгов. Однако здесь есть одно предостережение. Мы исходим из предположения, что ценность предмета торгов носит для вас личный характер и не зависит от того, как оценивают его другие. На аукционе Викри, где предмет торгов имеет общую ценность для его участников, вы, возможно, захотели бы изменить предложенную цену на основании того, что делают другие участники, но только потому, что это меняет ваши представления о ценности данного предмета торгов.

Для того чтобы продемонстрировать, как делать ставки во время закрытого аукциона, мы преобразуем аукцион Викри в закрытый аукцион и проанализируем простую ситуацию, когда в аукционе принимают участие всего два покупателя, для которых ценность предмета торгов составляет от 0 до 100, а все промежуточные значения в равной степени вероятны.

Начнем с аукциона Викри. Ценность предмета торгов составляет для вас 60 долларов, поэтому вы предлагаете цену 60 долларов. Если бы мы сказали вам, что вы выиграли аукцион, вы были бы довольны, но не знали, сколько вам придется заплатить. Вам известно только, что эта сумма немного ниже 60 долларов. Все возможные варианты цены ниже 60 долларов в равной степени вероятны, поэтому вы платите в среднем 30 долларов. Если бы мы предложили вам выбор: заплатить 30 долларов или заплатить сумму, соответствующую второй самой высокой цене, эти варианты были бы для вас равнозначны – по вашим оценкам, вы в любом случае должны будете заплатить 30 долларов. Точно так же, если бы ценность предмета торгов составляла для вас 80 долларов, вы были бы рады предложить 40 долларов, если бы узнали, что ваша ставка выиграла аукцион Викри. В более общем случае, если ценность предмета для вас составляет Х долларов, вы рассчитываете заплатить Х∕2 доллара (вторая самая высокая ставка), если выиграете аукцион Викри. Вас вполне устроило бы, если бы вам пришлось сразу же заплатить Х∕2 доллара, когда ваша ставка Х выиграет аукцион.

Давайте так и сделаем. Вместо того чтобы платить вторую самую высокую цену, изменим правила таким образом: когда вы предложите Х долларов, вы должны будете заплатить сумму Х∕2 доллара, если ваша ставка Х выиграет аукцион. Поскольку в среднем это тот же результат, что и в аукционе Викри, вам не следует менять оптимальную ставку. А теперь представим себе, что все остальные участники аукциона придерживаются того же правила. Они тоже не должны менять свои ставки.

На данном этапе мы получили нечто весьма похожее на закрытый аукцион. Каждый участник аукциона записывает свою цену на бумаге, а выигрывает предложение с самой высокой ценой. Единственное отличие состоит в следующем: вместо того чтобы платить предложенную цену, вы должны будете заплатить только половину. Это все равно, что заплатить в долларах США вместо британских фунтов.

Но эта игра не обманет участников аукциона. Если предложение цены 80 долларов означает, что вы должны заплатить 40 долларов, то ставка 80 долларов означает на самом деле 40 долларов. Если бы мы еще раз изменили правила, чтобы вы платили предложенную цену, а не половину, тогда все остальные участники аукциона просто сократили бы свои ставки в два раза. В таком случае, если вы готовы заплатить 40 долларов, вы предлагаете цену 40 вместо 80. В итоге мы получили закрытый аукцион. Вероятно, вы обратили внимание на следующий факт: равновесная стратегия обоих игроков сводится к тому, чтобы предлагать цену, эквивалентную половине ценности, которую представляет для них предмет торгов.

Если вы хотите убедиться в том, что это действительно равновесная стратегия, то можете предположить, что другой игрок предлагает цену, равную половине его ценности предмета торгов, и представить себе, как отреагировали бы на это вы. Если вы предлагаете цену Х, то выиграете, если ценность предмета торгов для другого аукционера меньше 2Х (а значит, он предлагает цену меньше Х). Вероятность такого развития событий равна 2Х∕100. Таким образом, выигрыш от ставки Х при условии, что V – истинная ценность предмета торгов, составляет: