3.2.7. Сравнение
Теперь попробуем сравнить значение переменной и константы, которую мы ей присвоили (листинг 3.10, пример Compare1 на компакт-диске).
Листинг 3.10. Пример ошибки при сравнении вещественной переменной и константы
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
R: Single;
begin
R := 0.1;
if R = 0.1 then Label1.Caption := 'Равно'
else Label1.Caption := 'He равно';
end;
При нажатии кнопки мы увидим надпись Не равно. На первый взгляд это кажется абсурдом. Действительно, мы уже знаем, что переменная R получает значение 0.100000001490116 вместо 0.1. Но ведь "0.1" в правой части равенства тоже должно преобразоваться по тем же законам, т.к. работает аналогичный алгоритм. Тут самое время вспомнить, что FPU работает только с 10-байтным типом Extended, поэтому и левая, и правая часть равенства сначала преобразуется в этот тип, и лишь потом производится сравнение. То число, которое оказалось в переменной R вместо 0.1, хотя и выглядит страшно, но зато представляется в виде конечной двоичной дроби. Информация же о том, что это на самом деле должно означать "0.1", нигде не сохранилась. При преобразовании этого числа в Extended младшие, избыточные по сравнению с типом Single разряды мантиссы просто заполняются нулями, и мы снова получим то же самое число, только записанное в формате Extended. А "0.1" из правой части равенства преобразуется в Extended без промежуточного превращения в Single. Поэтому некоторые из младших разрядов мантиссы будут содержать единицы. Другими словами, мы получим хоть и не точное представление числа 0.1, но все же более близкое к истине, чем 0.100000001490116.
Из-за таких хитрых преобразований оказывается, что мы сравниваем два близких, но все же не равных числа. Отсюда — закономерный результат в виде надписи Не равно.
Тут уместна аналогия с десятичными дробями. Допустим, в одном случае мы делим 1 на три с точностью до трех знаков и получаем 0,333. Потом мы делим 1 на три с точностью до четырех знаков и получаем 0,3333. Теперь мы хотим сравнить эти два числа. Для этого приводим их к точности в четыре разряда. Получается, что мы сравниваем 0,3330 и 0,3333. Очевидно, что это разные числа.
Если попробовать заменить число 0,1 на 0,5, то мы увидим надпись Равно. Полагаем, что читатели уже догадались, почему, но все же приведем объяснение. Число 0,5 — это конечная двоичная дробь. При прямом приведении ее к типу Extended в младших разрядах оказываются нули. Точно такие же нули оказываются в этих разрядах при превращении числа 0,5 типа Single в тип Extended. Поэтому в результате мы сравниваем два равных числа. Это похоже на процесс деления 1 на 4 с точностью до трех и до четырех значащих цифр. В первом случае получили бы 0,250, во втором — 0,2500. Приведя оба значения к точности в четыре знака, получим сравнение 0,2500 и 0,2500. Очевидно, что эти числа равны.
3.2.8. Сравнение разных типов
Теперь попытаемся сравнить переменную не с константой, а с другой переменной (листинг 3.11, пример Compare2 на компакт-диске).
Листинг 3.11. Пример ошибки при сравнении переменных разных типов
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
R1: Single;
R2: Double;
begin
R1 := 0.1;
R2 := 0.1;
if R1 = R2 then Label1.Caption := 'Равно'
else Label1.Caption := 'He равно';
end;
Почему этот пример также выдаст Не равно, понять проще, чем в предыдущем случае. При R1 бесконечная дробь обрывается на 24-х разрядах, а при R2 — на 53-х. Таким образом, в дополнительных по сравнению с типом Single разрядах переменной R2 будут единицы. При дополнении значений нулями до 10-байтной точности мы получим разные числа, что и определяет результат сравнения. Это напоминает ситуацию, когда мы сравниваем 0,333 и 0,3333, приводя их к точности в пять знаков: числа 0,33300 и 0,33330 не равны.
Как и в предыдущем случае, замена 0,1 на 0,5 даст результат Равно.
Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий ситуацию, которая часто озадачивает начинающего программиста (листинг 3.12, пример Subtraction на компакт-диске).
Листинг 3.12. Накапливание ошибки при вычитании
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
R: Single;
I: Integer;
begin
R := 1;
for I := 1 to 10 do R := R - 0.1;
Label1.Caption := FloatToStr(R);
end;
В результате выполнения этого кода на экране появится -7.3015691270939E-8 вместо ожидаемого нуля. Объяснение этому достаточно очевидно, если вспомнить то, о чем мы говорили ранее. Число 0,1 не может быть передано точно ни в одном из вещественных типов, а при каждом вычислении происходит преобразование Single в Extended и обратно, причем последнее — с потерей точности. Эти потери приводят к тому, что мы получаем в результате не ноль, а "почти ноль".
3.2.10. Неожиданная потеря точности
Изменим в предыдущем примере тип переменной R с Single на Double. Значение, выводимое программой, станет 1.44327637948555E-16. Вполне логичный и предсказуемый результат, т.к. тип Double точнее, чем Single, и, следовательно, все вычисления имеют меньшую погрешность, мы просто обязаны получить более точный результат. Хотя, разумеется, абсолютная точность (т.е. ноль) для нас остается недостижимым идеалом.
А теперь — вопрос на засыпку. Изменится ли результат, если мы заменим Double на более точный Extended? Ответ не такой однозначный, каким его хотелось бы видеть. В принципе, после такой замены вы должны получить -6.7762635780344E-20. Но в некоторых случаях от замены Double на Extended результат не изменится, и вы снова получите 1.44327637948555Е-16. Это зависит от операционной системы и версии Delphi.
Все дело в использовании "неполноценного" Extended. При запуске программы любая система устанавливает такое управляющее слово FPU, чтобы Extended был полноценным. Но затем программа вызывает много разных функций Windows API. Какая-то (или какие-то) из этих многочисленных функций некорректно работают с управляющим словом, меняя его значение и не восстанавливая при выходе. Такая проблема встречается, в основном, в Windows 95 и старых версиях Windows 98. Также имеются сведения о том, что управляющее слово может "портиться" и в Windows NT, причем эффект наблюдался не сразу после установки системы, а лишь через некоторое время, после доустановки других программ. Проблема именно в некорректности поведения системных функций; значение управляющего слова, устанавливаемое системой при запуске программы, всегда одинаково. Таким образом, приходим к неутешительному выводу: к тем проблемам с вещественными числами, которые обусловлены особенностями их аппаратной реализации, добавляются еще и ошибки операционной системы. Правда, радует то, что в последнее время эти ошибки встречаются крайне редко — видимо, новые версии системы от них избавлены. Тем не менее полностью исключать такую возможность нельзя, особенно если ваша программа будет запускаться на старой технике с устаревшими системами. Чтобы приведенный пример всегда выдавал правильное значение -6.7762635780344E-20, достаточно поставить в начале нашей процедуры Set8080CW(Get8087CW or $0100), и программа в любой системе будет устанавливать сопроцессор в режим максимальной точности.
Примечание
В версиях Delphi по 5-ю включительно, где отсутствует функция Get8087CW, можно использовать такую конструкцию : Set8087CW(Default8087CW). При этом следует учитывать, что она возвращает к начальному состоянию все флаги, а не только интересующий нас. Если это неприемлемо, управляющее слово придется изменять с помощью встроенного ассемблера.
Раз уж мы заговорили об управляющем слове, давайте немного поэкспериментируем с ним. Изменим первую строчку на Set8087CW(Get8087CW and $FCFF or $0200). Тем самым мы перевезем сопроцессор в режим 53-разрядной точности представления мантиссы. Теперь в любой системе мы увидим 1.44327637948555Е-16, несмотря на использование Extended. Если же мы изменим первую строчку на Set8087CW(Get8087CW and $FCFF), то будем работать в режиме 24-разрядной точности. Соответственно, в любой системе будет результат -7.3015691270939Е-8.
Заметим, что при загрузке в 10-байтный регистр сопроцессора числа типа Extended в режиме пониженной точности "лишние" биты не обнуляются. Только результаты математических операций представляются с пониженной точностью. Кроме того, при сравнении двух чисел также учитываются все биты, независимо от точности. Поэтому код, приведенный в листинге 3.10 при выборе любой точности даст Не равно.
3.2.11. Борьба с потерей точности в VCL
В том, что описанная проблема с потерей точности встречается все реже, есть заслуга и разработчиков VCL. Зная, вызовы каких функций могут привести к изменению управляющего слова FPU, они перед этими вызовами запоминают управляющее слово, а затем восстанавливают. В более поздних версиях Delphi количество таких "оберток" больше, чем в ранних, поэтому чем новее версия Delphi, тем меньше шанс столкнуться с описанной проблемой. Здесь мы рассмотрим несколько примеров из исходного кода стандартных модулей Delphi 2007.
