В основе конструкции Сергеева, призванной исправить дело, лежит гросс-единица (grossone), обозначаемая
Гросс-единица – это бесконечное число, равное по определению количеству элементов в множестве N натуральных (то есть целых положительных) чисел. Это определение надо понимать в дословном, буквальном смысле, то есть предполагать, что N имеет вид: {1, 2, 3, …,
– 1,
}. Другими словами,
– это "самое большое натуральное число". Оно и выбирается в качестве основания новой системы исчисления. Ну а дальше – точно так же, как мы записываем числа в десятичной системе, а компьютер в двоичной, произвольные бесконечно малые и бесконечно большие числа представляют собой «записи» (records) вида:
(1)
В этой записи p – «гросстепени», а c – «гроссцифры». Отличие от десятичной или двоичной систем в том, что «гроссцифры» не фиксированные заранее, а произвольные «обыкновенные» числа, записываемые с помощью конечного числа знаков. «Гросстепени», в свою очередь, это либо записи вида (1), либо снова «обыкновенные» конечные числа. Таким образом, числа в форме (1) всегда представляются конечным числом символов. Конечность записи принципиальна для этой конструкции, подчеркивает Сергеев, – она призвана учесть тот факт, что и человек, и компьютер способны выполнить лишь конечное число операций. В этом, кстати, существенное отличие от нестандартного анализа, который дополняет бесконечностями обычное множество вещественных чисел, построенное с помощью бесконечных десятичных дробей (или эквивалентных конструкций).
Сергеев с самого начала оставляет за скобками своих построений понятия счетного и несчетного множеств, взаимно однозначные соответствия и тому подобные базовые концепции привычной канторовской теории множеств. В его числовой системе, опять-таки в прямом и буквальном смысле слова, соблюдается древний постулат "часть всегда меньше целого". Например, число
+ 1 строго больше числа
, а множество натуральных чисел можно расширить так:
Записи вида (1) позволяют очень аккуратно сравнивать "маленькие бесконечности". Например, в обычной теории множеств совокупность всех натуральных чисел и совокупность четных положительных чисел неразличимы по так называемой мощности, и то и другое – счетные множества. Здесь же постулируется, что второе из этих множеств содержит ровно
/2 элементов, то есть вдвое меньше, чем первое. Аналогично, множество всех положительных чисел вида, например, (6К+3) будет состоять из (
/6) элементов; а если к нему добавить еще три числа другого вида, полученное множество будет состоять уже из (
/6 + 3) элементов.
1/
– простейшее по записи бесконечно малое ("инфинитезимальное") число. Арифметика записей (1) устроена самым естественным образом – они перемножаются и складываются так, как если бы вместо
стояло обыкновенное число. Тонкости начинаются при суммировании бесконечных рядов. Согласно одному из самых интересных постулатов теории Сергеева, любой процесс (в том числе и процесс суммирования ряда) может включать не более чем
шагов. В частности, параллельные процессы в этой модели принципиально более мощны, чем одиночные, последовательные, – ведь К параллельно идущих процессов позволяют выполнить (К*
) шагов. В этом же постулате о процессах скрыта и очевидная связь рассматриваемой модели с аксиомой выбора – источником множества трудностей и, в частности, «виновницей» парадокса Банаха-Тарского. Можно осторожно предположить, что настоящие теоретические трудности в согласовании концепций Сергеева с остальной математикой относятся именно к этим вопросам – но мы в них углубляться, разумеется, не будем. Во всяком случае, парадокс Банаха-Тарского в теории Сергеева не возникает – дело в том, что точки, из которых состоят шары, в данном случае можно просто пересчитать, выразив их количество соответствующей записью вида (1), и это не позволяет выполнять трюки с производством предметов из ничего.
Чуть позже мы приведем примеры прямого подсчета точек во фрактальных объектах, а пока черкнем еще пару формул. В любое выражение мы теперь можем подставлять не только конечные, но и бесконечные числа – и приписать вполне определенные значения как "стремящимся к бесконечности" в традиционном смысле слова рядам и функциям, так и рядам, которые вообще не имеют традиционного предела. Например, предел
как известно, не существует. Однако с помощью записей (1) можно точно выразить значение этой последовательности в любой бесконечной точке: при n=
получаем
, при n=
– 1 получаем —
+1 и т. д.
Но содержат ли такие записи в новой арифметике действительно новую информацию о классических выражениях? Очень важный вопрос. Ответ на него даст только предстоящая история развития этого аппарата. Впрочем, уже существуют примеры описания наглядных геометрических конструкций – фрактальных процессов – при помощи новой числовой системы.
Отсчет мерцающих квадратиков
В известном фильме Питера Гринуэя "Отсчет утопленников" ("Drowning by numbers") персонажи монотонно и без особых хлопот применяют друг к другу одну и ту же элементарную операцию – утопление. По духу это очень напоминает классические конструкции фракталов – геометрических объектов, ставших популярными в последние десятилетия в самых разных областях науки и практики. Строгое математическое определение фракталов очень скучное, а интересны они тем, что чаще всего обладают свойством самоподобия: состоят из небольшого числа частей, каждая из которых – уменьшенная и слегка измененная копия объекта в целом. Самоподобие же почему-то встречается во всевозможных структурах нашего лучшего из миров – причем именно в таких, которые трудно описать гладкими функциями классического анализа. Например, фрактальный лист папоротника (рис. справа внизу) очень похож на настоящий. Задать такую форму можно либо с помощью длиннейших (но совершенно неинформативных в данном случае) рядов по синусам и косинусам, либо с помощью очень простого фрактального процесса, в явном виде учитывающего самоподобие этого листочка (а он состоит из трех уменьшенных копий самого себя: двух нижних веточек и того, что останется, если их отрезать). Папоротник тут не случаен – фрактальные модели (так называемые L-системы) построены для множества видов растений. Классик науки о фракталах Бенуа Мандельброт (если не ошибаюсь, он и ввел термин "фрактал") в начале 1960-х обнаружил фрактальные (в усредненном, статистическом смысле) структуры не где-нибудь, а в финансовых рядах – графиках колебания цен на рынках. Фрактальный характер имеет и множество других заманчивых объектов и процессов, включая строение Интернета и динамику сетевого трафика, и фрактальные компьютерные модели всего этого разрабатываются весьма активно. Проблема только в том, что построить такую модель для конкретного предмета из реального мира всегда крайне сложно. С формами растений это в целом удалось, а вот с финансовыми рядами – как-то пока не очень (хотя кто знает? может быть, нам не все рассказывают?).
Сами же фрактальные модели обычно представляют собой процессы последовательного измельчения и перемешивания исходных заготовок в соответствии с коротким списком правил. Как раз для точного подсчета (или отсчета?) того, что еще осталось от исходной заготовки после бесконечного числа таких шагов, Сергеев и использовал свои новые числа – в качестве иллюстрации их потенциальных возможностей.
Пример простого фрактального процесса – построение классического канторова множества. Заготовка – отрезок [0, 1]. Первый шаг – выбрасываем (Гринуэй, может быть, сказал бы – топим) среднюю треть этой заготовки. Получаем уже два отрезка, но маленьких: [0, 1/3] и [2/3, 1]. Затем топим (пардон, стираем) среднюю треть у каждого из этих двух, затем – у каждого из полученных четырех, и так далее. Ясно, что при рисовании на мониторе оставшиеся отрезки скоро станут меньше пикселов, и ничего кроме пустого экрана этот фрактальный процесс не даст (зато при другом выборе заготовок и операций с ними мы могли бы получить ветку сирени или реалистичный горный ландшафт).
Однако с точки зрения чистой математики в пределе остается отнюдь не пустота. Предельное канторово множество – трудновообразимый континуум (то есть нечто эквивалентное исходному отрезку!), все связи между точками которого разорваны выбрасыванием бесчисленных крошечных отрезков.
С использованием разложения по гросс-единицам Сергеев описывает этот процесс (и его результат) иначе. На n-м шаге процесса имеется 2n отрезков, каждый длиной 3-n. Стало быть, после
