Первый из названных видов мы теперь называем простыми числами. Эти числа делятся лишь на себя и на единицу, т. е. измеримы лишь единицей.
Числа второго вида, противоположного первому, «могут быть измерены другим числом, помимо единицы»[47]. Это составные числа, т. е. нечетные числа, имеющие отличные от единицы делители. Таковы, например, 9,15, 25.
Что касается третьего вида, то его описание у Никомаха весьма неясно и содержит явные логические неувязки. Например, он относит число 9 и ко второму, и к третьему виду.
Мы не будем, чтобы не затягивать наш рассказ, излагать все основы пифагорейской арифметики. Заметим лишь, что выявляемые в ней свойства чисел всегда будут определяться одной и той же указанной только что мыслью: очередное установленное свойство числа есть следствие некоторой организации частей внутри целого. При этом организация частей определяется их соразмерностью.
Обратим лишь еще раз внимание на различение четного и нечетного, принципиальное для всей пифагорейской арифметики.
Четные числа делимы на две равные части. Нечетные числа неделимы надвое «из-за присутствия единицы в середине»[48].
Что означает «присутствие единицы в середине» легко понять из графического изображения четного и нечетного числа:
Рис. 3. Представление четных и нечетных чисел
Нечетное число имеет центр симметрии, а у четного в центре ничего нет. Эта пустота в центре делает четное число как бы неустойчивым, делимым и, как следствие, менее совершенным, чем нечетное. Нечетное число имеет начало, конец и середину и представляет собой замкнутое целое. Четному же числу свойственна разомкнутость. Оно как будто растекается в бесконечность. Во всяком случае, пифагорейцы полагали, что нечетному числу соответствует предел, а четному – беспредельное.
Обратим внимание, что и в этом случае все определяется организацией частей в пределах целого. Однако, говоря о числе, мы должны обратить внимание на другую пару понятий, более общих, чем часть и целое. Эти понятия – единство и множество. Число, как мы видели, было определено как множество, составленное из единиц. Такое множество, конечно, есть нечто целое, состоящее из частей. Но оно представляет собой предельный случай такого целого. В геометрии, космологии и музыке части были сложны и соразмерны. Здесь же они просты и неразличимы. Все сводится к многократному повторению одного и того же. При любой соразмерности мы имеем такое повторение. Но общая мера, воспроизводимая много раз в пределах целого, все же есть нечто сложное. Она также имеет собственное устройство. Число – идеальная модель целого, состоящего из соразмерных частей. Общая мера в нем предельно проста и уже не имеет никакой собственной организации. Всякая общая мера есть усложненная единица. Число, следовательно, лежит в основе всех других целостностей. Всякая организованная, упорядоченная сложность имеет в своей основе число. Оно являет эту сложность (сложенность) в самом чистом виде. Можно сказать и иначе: всякое целое, состоящее из частей, есть, по своей сути, число, усложненное, обремененное какими-то дополнительными, нечисловыми характеристиками. Поэтому истинное знание всякого сущего представляет собой знание его числовой структуры. Поэтому арифметика есть главная наука, без которой невозможна никакая другая.
На примере пифагорейской арифметики мы далее попробуем уточнить, что такое ясное знание и каковы его условия. Мы уже не раз говорили о структурировании целого. Знание целого состоит в усмотрении организации его частей. Чтобы объяснить смысл такого усмотрения нам будут полезны дополнительные сведения о пифагорейской теории чисел.
Прежде всего заметим, что слово «усмотрение» имеет здесь буквальный смысл. Число для пифагорейцев имеет зримое выражение, оно всегда имеет явное графическое представление. Выше мы уже воспользовались одним из таких представлений, чтобы показать различие между нечетным и четным числом. Число как множество, составленное из единиц, всегда можно созерцать, видеть глазами, как целое, объединяющее свои части. Однако такое созерцание требует определенной работы. Рассмотрим, например, число 9, которое исходно представляет собой девять собранных вместе единиц. Выглядеть это может, например, так:
Пока что перед нами лишь собрание единиц, в котором мы не видим никакой особой структуры. Впрочем, можно сразу заметить, что перед нами число – нечетное, т. е. имеющее начало, середину и конец. Наше созерцание приобретает большую определенность. Мы уже выделили некоторую внутреннюю структуру.
Далее мы заметим, что выбранное нами число представляет собой трижды повторенную тройку:
В исходном целом обнаруживается дополнительная структура, обусловленная выделением других частей, из которых оно составлено. Чтобы сделать эту структуру более явной, запишем число в таком виде:
Такое число пифагорейцы называли квадратным. Ясно, что не только д обладает такой структурой, а всякое число, полученное умножением целого числа на себя. Мы и сейчас называем эти числа полными квадратами. Посмотрим на них еще внимательней. Для начала, не прибегая к графическому представлению, укажем одно интересное свойство полных квадратов:
4 = 22 = 1 + 3
9 = 32 = 1 + 3 + 5
16 = 42 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 52 = 1 + 3 + 5 + 7+9
36 = 62 = 1 + 3 + 5 + 7+9 + 11
Обнаруживается интересная связь между квадратными и нечетными числами. Каждый квадрат есть сумма последовательных нечетных чисел. Пока что, впрочем, это остается лишь эмпирическим наблюдением. Доказательство этого свойства легко получается, если прибегнуть к пифагорейским «фигурным» числам. Заметим только, что всякое нечетное число представимо так:
Такое представление получило название «гномон».
Теперь мы можем легко убедиться, что прибавление 3 к 1 изображается как наложение соответствующего гномона на единицу, а каждое последующее прибавление нечетного числа к полному квадрату – наложение соответствующего гномона на этот квадрат. Это и есть требуемое доказательство. Оно в буквальном смысле очевидно, т. е. видно глазами, благодаря выявлению структуры квадратного числа. Последнее оказывается составленным из гномонов, т. е. из последовательных нечетных чисел.
Рис. 4. Квадрат, составленный из гномонов
Попробуем сделать вывод из этого исследования. Наше понимание числа становится более богатым, знание более ясным. Если говорить о числе 9, с которого мы начинали, то в нем выделяется достаточно сложная структура. Оно предстает как целое, составляемое разными способами из разных частей. На примере квадратных чисел мы можем видеть определенный ход познающей мысли. Углубление нашего знания происходит так, что от изначально неструктурированного (или малоструктурированного) целого, мы идем к большей детализации, делая понимание более определенным. Указанный ход мысли имеет три аспекта. Первый аспект – конструктивный. Рассуждая о свойствах чисел, мы конструируем эти числа, производим последовательные операции по определенным правилам, собирая целое из частей. Второй аспект – описательный, или «логосный». Каждое наше действие выражается в языке, обозначается словом. Наконец, третий аспект – созерцание, т. е. непосредственное ви́дение целого, устроенного определенным образом. Этот последний аспект наиболее важен. Именно в таком усмотрении целого и состоит знание. В нем каждый шаг конструктивной процедуры получает свое окончательное обоснование. В противном случае конструирование было бы слепым, бесцельным. Кроме того, в целом, схваченном единым взглядом, оказываются запечатлены все шаги конструктивной процедуры. Целое, полученное в результате конструирования, как будто заранее предопределяет ее. Будучи более поздним в порядке возникновения, оно предшествует по сути. В самом деле, квадратное число, разделенное на гномоны, содержит в себе всю процедуру последовательного наложения. Точно также чертеж удвоенного квадрата, приведенный нами в разделе о геометрии, дает понимание всей процедуры доказательства соответствующей теоремы.
Однако такое целостное усмотрение невозможно выразить в слове. Логосный аспект понимания неизбежно связан с конструктивным. Если мы попробуем выразить словами наше ви́дение целого, то вынуждены будем последовательно описывать связь его частей, т. е. шаг за шагом воспроизводить конструктивную процедуру.
Контрольные вопросы к главе 21. Опишите в общем виде связь понятий предела, беспредельного и гармонии.
2. Как понятия предела, беспредельного и гармонии используются в пифагорейской теории музыки и в космологии?
