За недостатком места мы должны отказаться от строгого доказательства всего изложенного. Но можно наметить кратко главные этапы в ходе этого доказательства. Среди ходов будем различать «горизонтальные» и «вертикальные» (смысл этих слов, конечно, ясен). Легко видеть, что всякий «вертикальный» ход изменяет число инверсий либо на 1, либо на 3, т. е. на нечетное число. Чтобы одно положение шашек перевести в какое-либо другое, необходимо сделать h горизонтальных и v вертикальных ходов, причем — если в обоих положениях свободное поле находится в правом нижнем углу — оба числа, h и v, четные. Горизонтальные ходы не могут изменить инверсий, вертикальные же изменяют их каждый раз на нечетное число, т. е. в общем итоге — так как v число четное — на четное число. Вот почему для переводимости двух расположений (в которых пустое поле находится в правом нижнем углу) одного в другое необходимо, чтобы они различались между собою четным числом инверсий. Это условие взаимного перевода является притом не только необходимым, но, очевидно, также и достаточным. — «Нормальное» расположение имеет 0 инверсий, и, следовательно, ему соответствует серия положений с четным числом инверсий (при условии, что свободное поле на одном и том же месте). Расположение II имеет одну инверсию, — его серия есть серия нечетных инверсий.
Поучительной в этой игре является и ее история. При своем появлении игра вызвала всюду, как мы уже рассказывали, сильнейшее, прямо лихорадочное возбуждение и породила настоящую манию игры. С этой лихорадкой удалось справиться только математике. И удалось ей это так полно, что в наши дни подобная страстность в этой игре уже совершенно немыслима. Победа достигнута была благодаря тому, что математика создала исчерпывающую теорию игры, теорию, не оставляющую в ней ни одного сомнительного пункта и превратившую ее в образчик настоящей математической игры. Исход игры зависит здесь не от каких-либо случайностей и даже не от исключительной находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, предопределяющих исход с безусловной достоверностью.[37]
Иллюстрация, приведенная в начале этой статьи, помещена в любопытной книге Сэма Лойда «Энциклопедия головоломок» (Нью-Йорк, 1914). Это большой том, заключающий 5000 разнообразных задач и развлечений, из которых тысяча иллюстрирована. Рисунок интересующей нас игры сопровождается следующим текстом.
«Давнишние обитатели царства смекалки помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем „игры в 14–15“. Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шашки 14-я и 15-я были переставлены, как показано на прилагаемой иллюстрации. Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в исходное положение, причем, однако, порядок шашек 14-й и 15-й должен быть исправлен.
Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя тысячи людей уверяли, что выполнили требуемое. Все принялись без устали решать эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Непостижимой особенностью игры было то, что никто не желал отказываться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурманы, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций, торговля была деморализована. Фермеры забрасывали свои плуги, — один из таких моментов изображен на прилагаемой иллюстрации.
К задаче 2-й
Вот несколько новых задач, кроме той, которая приведена выше.
Задача 2-я. Исходя из расположения, показанного на схеме I, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (см. чертеж). Задача 3-я. Исходя из расположения схемы I, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения чертежа.
К задаче 3-й
Задача 4-я. Передвижением шашек превратите коробку в „магический квадрат“, а именно: разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30».
РЕШЕНИЯ
Расположение задачи 2-й может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:
14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7
4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9
12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, И, 15, 13
9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14
10, 6, 2, 1.
Расположение задачи 3-й достигается следующими 39 ходами:
14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9
5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13
9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14
13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.
Магический квадрат с суммою 30 получается после ряда ходов:
12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15
14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8
4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6
5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13
14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.
Приведем замечание немецкого математика Шуберта о числе возможных задач при «игре в 15».
«Сколько всего возможно задач, т. е. сколько различных расположений можно дать 15 шашкам, причем каждый раз пустое поле расположено справа внизу? Чтобы определить, сколько перестановок можно получить с помощью 15 предметов, начнем с 2-х предметов: а и Ь. Они могут дать лишь две перестановки, именно — ab и Ьа. При трех предметах имеется уже втрое больше перестановок, т. е. 6, так как предмет „а“ может быть поставлен перед Ьс и перед cb, и, кроме того, имеются еще две перестановки, начинающиеся с Ь, и две, начинающиеся с с. Отсюда можно заключить, что четыре предмета а, Ь, с, d могут дать вчетверо большее число различных перестановок, т. е. 4 × 3 × 2 = 24 перестановки. Продолжая так, можно найти, что 15 шашек допускают всего
2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15
перестановок. Вычислив это произведение, мы найдем для числа задач игры внушительное число:
1 биллион 307 674 миллиона 365 000».
Из этого огромного числа задач ровно половина принадлежит к разрешимым и столько же — к неразрешимым. Заметим еще, что если бы возможно было ежесекундно давать шашкам новое положение, то, чтобы перепробовать все возможные расположения, потребовалось бы, при непрерывной работе круглые сутки, свыше 40 000 лет.
Странная задача на премию
Профессор Г. Симон
Лет 20 тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):
«Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, — тому будет выдано наличными деньгами сто рублей».
Посетителям вручались необходимые монеты, — конечно, заимообразно. Но обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.
Разумеется, пол-Берлина потело над разрешением этой задачи (стояли как раз жаркие июльские дни), казавшейся не особенно трудной. Сто рублей хорошо пригодились бы всем, значит — стоит потрудиться. По мере того как выяснялась бесполезность попыток, физиономии решавших вытягивались, и розовые мечты о заманчивой награде испарялись. Надежды оказывались обманчивыми. Ловкий счетчик мог безбоязненно обещать в десять раз большую награду. Никто не вправе был бы на нее притязать, ибо задача требует невозможного.
Как в этом убедиться?
Нам не понадобится глубоко забираться в дебри алгебры, но все же не будем бояться х, у и z.
Рассмотрим сначала, можно ли уплатить требуемым образом пять рублей. Пусть для этого нужно × полтинников, у — двугривенных и z — пятаков. Сумма их должна составить 500 копеек, т. е.
50х + 20у + 5z = 100,
или, разделив на 5,
10х + 4у + z = 100.
Это легко осуществить на разные лады. Если, например, взять х = 8, то будем иметь
80 + 4у + z = 100,
или
4у + z = 20;
последнему уравнению можно удовлетворить, если принять z = 4, или 8, или 12, или 16 и, следовательно, (при z = 4) 4у = 16, у = 4. Действительно, 8 полтинников, 4 двугривенных и 4 пятака составляют 500. Однако при этом не выполнено условие употребить в общей сложности 20 монет: мы употребили 8 + 4 + 4 = 16 монет. К нашему первому уравнению
10х + 4у + z = 100
