Сколько их всего, этих чисел? Я почти слышу ваш ответ: «Бесчисленное множество». Это означает, что среди натуральных чисел нет наибольшего числа, что легко доказать от противного.
Допустим, что N — наибольшее натуральное число. Тогда N + 1 будет также числом натуральным и большим, чем N. Придя к противоречию, мы доказали тем самым, что натуральных чисел сколько угодно, бесчисленное множество.
Следовательно, прямая, изображенная на рисунке, может быть продолжена вправо как угодно далеко. Конечно, то же можно сказать и о ее продолжении влево, где может быть нанесено на прямую бесчисленное множество целых отрицательных чисел.
Думаю, что сказанное понятно всем читателям. Иначе говоря, вы поняли на этом примере, что такое бесконечность. Но можете ли вы ее себе представить? Сомневаюсь. Вот в руке у вас палка с одним концом — а он у вас в руке, а другого конца нет — палка уходит в бесконечность. «Видите» ли вы в своем сознании всю эту палку? Нет, не видите и не увидите, если даже закроете глаза и напряжете свою волю.
Понять, что такое бесконечность, можно, однако представить ее себе нельзя. Наш мозг способен создать представление лишь о тех вещах или предметах, которые мы когда-то видели, то есть предметах ограниченных, конечных размеров. Фантазия может скомбинировать знакомые нам предметы в нечто новое и кажущееся поначалу неведомым. Но, увы, и в этом трагедия всех фантастов, в самых, казалось бы, невероятных измышлениях мы всегда сумеем найти те или иные черты знакомых нам по нашему человеческому опыту предметов.
Бесконечных предметов мы никогда не видели, не ощущали, а потому и представить себе их не можем.
Не следует думать, что бесконечность есть только неограниченное повторение чего-то конечного. Бесконечность качественно отличается от ограниченного, конечного. У нее есть особые, только ей принадлежащие свойства.
Снова покажем это на простых примерах из области математики.
На рисунке изображена числовая прямая, начало отсчета которой обозначено точкой 0. Есть ли справа у этой нулевой точки соседняя, то есть самая близкая к ней точка? Не спешите отвечать утвердительно. Давайте лучше попробуем указать, найти на числовой прямой эту соседнюю точку.
Может быть, точка, обозначенная 1, соседняя? Чувствую, что вы не соглашаетесь — ведь середина отрезка, соединяющего точки 0 и 1, ближе к нулевой точке, чем его правый конец. Нельзя, однако, и эту середину назвать соседней точкой, так как, поделив отрезок между ней и точкой пополам, мы найдем новую точку 1/4, которая, конечно, ближе к 0, чем точка 1. Но ведь этот процесс деления нового отрезка пополам можно снова продолжить и затем продолжать до бесконечности. Обиднее всего, что до соседней точки мы так и не доберемся, потому что от заветной нулевой точки нас всегда будет отделять половина делимого отрезка. Вывод неожиданный, но и несомненный: любая точка любой прямой не имеет рядом с собой соседних, то есть самых близких к ней точек.
А вот второй пример. Для ограниченных, конечных вещей существует очевидная аксиома: часть меньше своего целого. Например, часть этого листка бумаги меньше всего листа. Выполняется ли эта аксиома в «мире бесконечностей»? Проверим.
Напишите натуральные числа
1 2 3 4 5 6…
Знак «…» означает, что за цифрой 6 следует еще бесчисленное множество натуральных чисел. Теперь под каждым из них напишите его квадрат, то есть
1 2 3 4 5 6…
12 22 З2 42 52 62…
В верхнем ряду столько же чисел, сколько и в нижнем — вы просто во втором ряду написали те же числа, что и в первом ряду, но только над каждым из них приписали двойку — значок степени.
Раскроем теперь смысл этого значка, напишем результат возведения в степень:
1 2 3 4 5 6…
1 4 9 16 25 36…
Что же получилось? В первом ряду мы видим все натуральные числа, а во втором ряду только часть натуральных чисел (так, например, нет чисел 2, 3, 5, 6, 7, 8 и т. д.). Но от возведения в степень количество чисел во втором ряду не изменилось. Значит, по-прежнему в первом ряду столько же чисел, сколько и во втором. Следовательно, часть равна целому — обе бесконечности (верхний ряд и нижний ряд) оказались в этом смысле равными.
Приведенные примеры показывают, что с бесконечностью надо обращаться осторожно. Не все, что верно для ограниченного, конечного, остается правильным и для бесконечности.
Небольшой экскурс в область математики позволит нам теперь лучше понять астрономическую проблему бесконечности Вселенной.
То, что Вселенная нигде не может иметь конца или края, понимали еще наиболее передовые из древнегреческих философов. Например, у философа Архита мы встречаем такие рассуждения:
«Пусть я нахожусь на самом краю мира, на небесной тверди. Могу ли я протянуть руку или жезл во внешнее пространство или нет? Нелепо предполагать, что я не могу протянуть руку. Если же протяну, то внешнее окажется или телом, или пространством. В каждом таком случае мы можем перейти на эту новую полученную границу и задать тот же вопрос. Поскольку жезл будет каждый раз наталкиваться на нечто новое, ясно, что так будет и бесконечно… Таким образом, и тело и пространство оказываются бесконечными».
Если отбросить наивные представления Архита о «небесной тверди», то его мысль вряд ли опровержима.
Действительно, мы не можем представить себе, что Вселенная где-то кончается, так как за этим «концом» ведь что-то должно быть, хотя бы «пустое» пространство. Отсюда и был еще в древности сделан вывод о бесконечности Вселенной.
В средние века, в эпоху господства церкви, идеи о бесконечности Вселенной считались еретическими и просто безбожными. Бесконечностью, по мнению церковников, мог обладать только бог, а не мир. Жестоко приходилось расплачиваться тем, кто, подобно Джордано Бруно, осмеливался противоречить церкви.
Но прошли века, учение Коперника получило всеобщее признание, и снсва, в XVIII веке, ряд ученых и философов выступил в защиту идей о бесконечности Вселенной. Тем не менее уже тогда были осознаны некоторые трудности, связанные с признанием бесконечности Вселенной. Одна из них, получившая впоследствии название фотометрического парадокса, заключается в следующем. Если звезд во Вселенной бесчисленное множество и они распределены в пространстве равномерно, то тогда с Земли в любом направлении должна находиться какая-нибудь звезда. В этом случае все небо должно быть таким бесконечно ослепительным, что даже Солнце на его фоне казалось бы черным пятном. Но этого нет, значит, число звезд во Вселенной ограниченно, значит, Вселенная где-то кончается.
Фотометрический парадокс смущал и астрономов XIX века, тем более что в конце века, в 1896 году, немецкий астроном Зеелигер добавил к нему еще второй, «гравитационный» парадокс.
Зеелигер подсчитал, что в бесконечной Вселенной, равномерно заполненной звездами, относительные скорости звезд должны быть бесконечно большими, чего не наблюдается. Как будто и отсюда следовало, что Вселенная где-то ограничена.
Начало нового, XX века не принесло с собой правильного разрешения загадочных парадоксов. Наоборот, посчитав их за доказательство ограниченности Вселенной, некоторые буржуазные ученые сделали попытку представить себе, какова же она, эта «конечная Вселенная». Началось создание «моделей мира», то есть схем, дававших в самых общих и упрощенных чертах картину мироздания.
Не прошел мимо этого увлечения и величайший физик нашей эпохи — Альберт Эйнштейн. Создатель гениальной теории относительности, являющейся основой современного естествознания, Эйнштейн сделал ряд выводов, вовсе не следующих неизбежно из его теории. Но великое имя сделало популярными ложные идеи. Модель «конечной Вселенной» стала излюбленной темой многих других буржуазных ученых и популяризаторов науки.
Попробуем понять, как изображает мир эта пресловутая «модель».
Представьте, что на рисунке изображены отрезок длиной а, квадрат со стороной, равной этому отрезку, и куб, длина ребра которого также равна а. Три геометрических образа — отрезок, квадрат и куб — обладают, как говорят математики, разным числом измерений.
Отрезок имеет только одно измерение — длину. О толщине идеального геометрического отрезка говорить не приходится — она считается равной нулю. Квадрат имеет два измерения — длину и ширину, но не имеет высоты или толщины. Наконец, куб обладает всеми тремя измерениями — длиной, шириной и высотой.
Вполне естественно, что окружающее нас пространство называют пространством трех измерений, или, сокращенно, трехмерным пространством. Ведь любой предмет, который мы видим вокруг себя, имеет подобно кубу три измерения — длину, ширину и высоту.
Представьте себе плоскость, идеальную геометрическую плоскость, не имеющую толщины. Математики называют ее пространством двух измерений, или двухмерным пространством, так как любая фигура на плоскости имеет только два измерения — длину и ширину. То же можно сказать и о любой поверхности, например поверхности шара, которая в идеальном случае (в геометрии) также не имеет толщины. Можно, наконец, говорить и об одномерном пространстве — так математики называют любую линию, вдоль которой можно измерять только длину. Математики всегда абстрагируют, то есть отвлекаются при своих рассуждениях от некоторых свойств реальных вещей. Это неизбежно, в этом суть математики, так как сразу исследовать любой предмет во всей его бесконечной сложности, конечно, невозможно. Абстракция необходима и часто очень полезна. Не удивляйтесь поэтому, если я вам скажу, что математики вводят понятие пространства' нулевого измерения, понимая под этим громким названием обыкновенную, не имеющую ни длины, ни ширины, ни толщины геометрическую точку.
