Ньютон видит ее в согласии с опытом: математические конструкции становятся достоверными, когда они приобретают онтологическую ценность, становятся суждениями о реальном мире, экспериментально проверенными утверждениями. Основы дифференциального и интегрального исчислений стали отвечать этому требованию, когда было создано математическое естествознание, в основном в XVIII в. В конечном счете именно с этим интуитивным представлением о математике и ее онтологической ценности, с бэконовским и локковским сенсуализмом, ставшим внутренним, еще раз подчеркнем, безотчетным психологическим стимулом Ньютона, связаны поздние сроки публикации его математических трудов.
Если мы раскроем эти труды («Универсальную арифметику» и уже упоминавшиеся работы, положившие начало анализу бесконечно малых), мы увидим, что Ньютон рассматривает физические задачи и выбирает те математические понятия и методы, которые предполагают существование физических эквивалентов.
Каких именно эквивалентов? Чего именно ждет математика Ньютона?
На этот вопрос можно ответить, ближе познакомившись с основной идеей теории флюент и флюксий. Здесь понадобятся некоторые предварительные пояснения.
Метод флюксий и лейбницевский метод дифференциалов получили непротиворечивую форму, когда О. Коши ввел понятия предела и переменной величины, стремящейся к пределу. Переменная называется бесконечно малой, если ее пределом служит нуль. Анализ бесконечно малых рассматривает предел отношения между приращениями двух переменных, из которых одна является функцией другой, например предельное отношение приращения пути к приращению времени. Такое предельное отношение называется, как известно, производной функции. Скорость в данной точке — это предел отношения приращения пути к приращению времени, производная пройденного пути по времени. Нахождение производной по первообразной функции, например нахождение скорости по пройденному пути, называется дифференцированием. Обратная операция — нахождение первообразной функции по ее производной — называется интегрированием. Можно найти производную от производной. Вторая производная от пути по времени — это ускорение.
В «Методе флюксий» Ньютон предупреждает, что введенные им математические понятия представляют собой обобщение категорий механики, что уподобление флюксии скорости нарастания пройденного пути — лишь исходная аналогия и наиболее важный пример общего соотношения между флюентой и флюксией. Соответственно независимой переменной может служить любая величина, если к ней как к заведомо равномерно и бесконечно изменяющейся отнесены все другие величины. Такое обобщенное понятие времени мы встречаем и в «Началах». Подобное обобщение открывает дорогу новым физическим понятиям. Представим себе, что независимой переменной служит пространство, например пространственное расстояние от центра тяготения, и нам нужно вычислить силу тяготения в каждой точке. Сейчас мы знаем, что решение подобных задач связано с представлением о силовом поле — пространстве, где каждой точке соответствует определенное значение силы, действующей на единичную массу. Мы знаем также, что подобная формальная континуализация тяготения, заполняющая пространство чисто математическими величинами, превратилась впоследствии в картину материальной среды, передающей силу от точки к точке и (после того как была доказана конечная скорость распространения взаимодействия) от мгновения к мгновению.
Таким образом, математическое обобщение механики дальнодействия вело к физике близкодействия.
Представление о флюксии как о предельном отношении (вернее, тенденция к такому представлению) у Ньютона уживалось с иной тенденцией — с идеей бесконечно малых величин, рассматриваемых как не протяженные, но находящиеся в определенных отношениях друг к другу. Когда Ньютон говорит о «первых и последних отношениях», то иногда неясно, имеет ли он в виду предельное отношение переменных величин или же отношение предельных постоянных значений.
В целом Ньютон склоняется к идее предельных отношений между величинами, которые остаются переменными и никогда не достигают своих пределов. Но в этом вопросе в «Методе флюксий» и «Началах» нет полной определенности. У Ньютона теория пределов существовала не в виде законченной концепции, а в виде некоторой программы или тенденции, у него была известная разноголосица в понимании и обосновании бесконечно малых.
Лейбниц независимо от Ньютона сформулировал методы дифференциального и интегрального исчислений. Он ввел их по существу в современной форме. Нас интересует определение бесконечно малой у Лейбница. В его математических идеях немало противоречий, и, кроме того, они изменялись в течение жизни ученого. В работах Лейбница можно найти различное понимание основных математических категорий, и прежде всего различное понимание бесконечно малых.
Лейбниц говорил о дифференциалах как о бесконечно малых приращениях независимой переменной и ее функции, причем под бесконечно малой подразумевалась постоянная величина — приращение настолько малое по сравнению с исходной величиной, что его можно приравнять к нулю. Это «можно приравнять» не означает, что бесконечно малая действительно представляет собой нуль. Приравнивание к нулю оправдывается ничтожностью бесконечно малой величины по сравнению с величинами, к которым она прибавляется или из которых она вычитается. В 1702 г. Лейбниц писал П. Вариньону: «Несравненно меньшее бесполезно принимать в расчет по сравнению с несравненно большим: так, частица магнитной жидкости, проходящая через стекло, несравнима с песчинкой, песчинка — с земным шаром, земной шар — с мирозданием» (18, 59).
Из этого варианта анализа бесконечно малых вытекает континуальная картина вещества как результат некоторого игнорирования его действительной дискретности. Такая картина была создана в XIX в.: макроскопическая термодинамика не может не отрицать дискретность вещества, но она рассматривает средние значения температуры как нечто изменяющееся непрерывно, и только при таком условии понятия температуры, температурного перепада и т. д. приобретают смысл. Но этого мало. Критерий существенности величины и движения дискретных частей вещества дает иерархию форм движения, создает частные границы в картине мира, выделяет области, где существенна протяженность атомов, молекул, клеток, макроскопических тел...
Иные выводы следуют из ньютоновского варианта исчисления бесконечно малых. Это прежде всего идея реальной континуальной субстанции. Такой субстанцией является поле. В теории Фарадея исходным понятием служит поле как континуальная физическая реальность, а дискретным частицам предоставляется роль простых окончаний силовых линий. Если в рамках математики ньютоновский и лейбницевский варианты эквивалентны и здесь существует проблема приоритета, то их физические интерпретации различны.
