Шотландский астроном Джеймс Грегори, человек с трагической судьбой (он ослеп, проводя астрономические наблюдения, и рано умер), предтеча Ньютона и в исчислении бесконечно малых, и в гораздо большей степени — в изобретении зеркального телескопа, был тогда совсем молодым ещё человеком — всего на четыре года старше Ньютона. Но он многое успел. Он знал метод касательных, мог вычислять площади сектора круга, гиперболы и эллипса. При этом он широко пользовался не только рядами, но и логарифмами, что было по тому времени новинкой. В логарифме математика XVII века впервые встретилась с функцией непрерывно изменяющегося аргумента. Это было и возвратом к старым как мир кинетическим традициям, восходящим чуть ли не к Аристотелю, к средневековой оксфордской школе калькуляторов, к ученикам знаменитого французского математика XIV века Никола Орема. В то же время это было и громадным шагом вперёд. Некоторые современные исследователи в области истории математики считают, что «труды Непера и других математиков XVII века, связанные с открытием логарифмов, оказали гораздо более глубокое влияние на творцов дифференциального исчисления, чем исследования, относящиеся к проведению касательных и отысканию наибольших и наименьших значений, которые послужили скорее поводом к открытию этого исчисления».
Кинетическая традиция, например, чётко прослеживалась и у самого Исаака Барроу. Ньютону была близка манера Барроу рассматривать различные линии и фигуры как результат движения. Линия — след движущейся точки. Поверхность — след движущейся линии. Это давало возможность физической трактовки математических операций. Можно было, например, представлять переменные как прямолинейные участки пути, проходимые с некоторой скоростью за единицу времени.
У Барроу было и другое. Он, возможно, первым увидел связь между нахождением квадратур и построением касательных к кривым, стал догадываться о том, что это взаимообратные операции. На одном из его чертежей — две кривые. Площади криволинейных трапеций, образуемых одной из них, осью абсцисс и ординатами пропорциональны ординатами другой кривой. Тем самым он оторвал будущее понятие интеграла от площади, сделав его отрезком прямой линии. Интеграл и дифференциал становились обыкновенными функциями переменной величины.
Барроу был уже близок к пониманию производной как скорости процесса — он считал, что свойства любой кривой линии могут быть определены из геометрического сложения переменных вертикальной и горизонтальной скоростей. Но нужен был новый шаг — решительный и смелый, порывавший с традициями современной Ньютону математики. Делая этот шаг, нужно было отказаться от некоторых несомненных прежде достижений математической мысли.
Да, нужно признать сразу: многие исследователи считают — и справедливо, — что методы бесконечно малых у Ньютона не могли быть названы строгими. И тому есть причины, оправдание и даже похвала. В истории математики, как и в истории любой науки, бывали периоды, когда требование абсолютной точности доказательств тяжёлыми веригами опутывало творцов, стоящих на пороге великих достижений, сплошь да рядом связанных с необходимостью отрыва от земли, свободного полёта фантазии.
Таким строгим методом с античных времён и до времён Ньютона был «метод исчерпания» или «Архимедов метод». Этот метод, придуманный в IV веке до нашей эры Евдоксом, поддержанный Аристотелем и ставший фундаментом евклидовой геометрии, на первый взгляд, казалось бы, вовсе не исключал свободный полёт фантазии, прозрение, отгадку, интуицию. Всё это было возможно и даже приветствовалось. Но; нужно было каждый раз обязательно доказать, что полученный с их помощью результат отличается от истинного результата менее, чем на любую наперёд заданную величину. В противном случае результат не считался доказанным.
Жёсткие путы налагались этим правилом на математиков. Мало кто посмел бы рискнуть представить на суд учёных коллег новое слово своё, не подкреплённое доказательством методом исчерпания.
Попробовал Кавальери попытаться разработать алгоритм интегрирования, вывести свою «линейную сумму» — прототип интеграла, но ревнители строгости быстро отбили у него охоту вольничать.
И всё же! Именно Кавальери предложил новый, никак не доказуемый методом исчерпания метод «неделимых» математических «атомов» — бесконечно малых, но всё же не нулевых величин. Торричелли говорил о нём:
«Несомненно, геометрия Кавальери — это истинно царская дорога посреди запутанных зарослей математического терновника! Метод Кавальери следует самой природе. Жаль мне древней геометрии, которая — не зная или не желая знать учение о неделимых, оставила нашему веку в наследство лишь злополучное убожество!»
— Долой Евклида и Архимеда, да здравствует Кавальери! — повторяли с Торричелли молодые математики. А ревнители травили Кавальери, который, устав от борьбы, жаловался друзьям:
— Все эти придирки и споры, скорее философские, чем геометрические, для меня крайне мучительны… Считаю неправильным тратить время, которое ещё осталось мне для работы, на эти пустяки.
И не отвечал на критические нападки. Многие не поняли идей Кавальери или поняли их не так. Торричелли, например, счёл, что навсегда избавлен от обязанности представлять доказательства. Плотина была прорвана — и математики, впав в иную крайность, свободно жонглировали теперь нулями и бесконечностями, сходящимися и несходящимися рядами.
Неделимые были подозрительны. Их третировали ревнители строгости, их не признавали христианские богословы:
— Всякие науки истинны, кроме тех, что основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых!
Богословы предупреждали:
— Если допустить, что мир состоит из материальных неделимых и пустоты, то получится, что духовный мир — это продукт чистой материи, что ересь.
Монах Кавальери, естественно, страшился таких обвинений. Он разъяснял:
— Я никогда не решался утверждать, что непрерывное составлено из неделимых, лишённых, конечно, какой бы то ни было толщины. Нельзя составить, как делает Кеплер, большие тела из мельчайших тел. Неделимые — это следы «текущей», «флюентной», движущейся плоскости, пересекающей данную линию, фигуру или тело и оставляющей на ней во все моменты времени след. Ведь время, как говорили пифагорейцы, состоит из отдельных моментов!
Возврат к кинетическим традициям древних философов-пифагорейцев вызывался расцветом механики и астрономии. Статическое интегрирование точек заменялось кинематическим интегрированием траекторий. Другими словами: линия перестала интересовать исследователей как таковая — линия стала следом движущегося реального тела, описанием реального процесса. И вот, изучая метод Валлиса, Ньютон понял, что он представляет собой гораздо более удобный и универсальный инструмент, чем считал сам Валлис. Ньютон понял, что валлисовские квадратуры есть частные случаи единого процесса, который мы по сегодняшней классификации назвали бы интегрированием — операцией, обратной дифференцированию. И более того. Если Валлис считал, что площади под кривыми есть статистические суммы бесконечно малых площадей, то Ньютон, следуя Барроу, воспринимал эти площади кинетически. Его площади описываются движущейся точкой. Он достиг непрерывности движения там, где Валлис видел ступеньки. Решающий шаг — описание кривых точкой, движущейся при определённых условиях. Возможно, этот шаг связан с лекциями Барроу. Именно идея движения принесла от Кавальери термин «флюксии» — «текущие», термин, которым Ньютон характеризовал свой метод. Движение предполагало введение новой переменной — времени и нового понятия — скорости, эквивалентного современной производной.
