Однако суть проблемы Гильберта заключается в том, что не все перечислимые множества являются вычислимыми. Достаточно найти одно-единственное перечислимое, но не вычислимое множество, чтобы дело приняло совершенно иной оборот. Это множество будет диофантовым, но соответствующее диофантово уравнение нельзя будет решить никаким алгоритмом.
* * *
УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ
Английский математик Джон Пелль (1611–1685) вошел в историю благодаря уравнению, носящему его имя:
x2 — d(y + 1)2 = 1.
Это уравнение имеет целые решения тогда и только тогда, когда d не является квадратом. Согласно определениям, приведенным во врезке, посвященной машине Тьюринга, множество чисел, которые не являются квадратами, D = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10…}, является диофантовым.
* * *
Жизнь после десятой проблемы
На день рождения Джулия получила торт с зажженными свечками, задула их и загадала свое обычное желание: дожить до того дня, когда будет найдено решение проклятой проблемы под номером 10, и не важно, кто его найдет и каким будет ответ — положительным или отрицательным. Пока Джулия Робинсон ожидала решения десятой проблемы Гильберта, она успела получить множество почетных наград. Крупнейшей в денежном выражении стала стипендия фонда МакАртура, присужденная ей в 1983 году сроком на пять лет и составлявшая 60 тысяч долларов.
Джулия Робинсон, среди прочего, стала первой женщиной-математиком, принятой в члены Национальной академии наук США (1975), и первой женщиной — президентом Американского математического общества (1978). Для любого американского математика подобный пост является вершиной карьеры, однако он подразумевает определенные обязанности. Прежде чем принять назначение, Джулия посоветовалась с друзьями и родственниками и пришла к выводу, что не имеет морального права отказаться. По крайней мере, эта должность позволила ей лично встретиться на Западе, в Калгари (1982), с Юрием Матиясевичем (они познакомились еще в Советском Союзе) — советские бюрократы ревностно контролировали все заграничные командировки и выпускали советских граждан за границу очень редко и только туда, куда разрешала непредсказуемая логика партии. Во время визита Джулии в СССР математик Юрий Линник (1915–1972) заметил, что она — второй по популярности Робинсон в Советском Союзе; первым был Робинзон Крузо. Разумеется, Юрий Матиясевич и Джулия Робинсон могли переписываться и публиковать совместные статьи, ведь, как известно, в единстве сила, а расстояние во много тысяч километров не было для них преградой.
* * *
«ЗОЛОТОЙ РЕБЕНОК» ЮРИЙ МАТИЯСЕВИЧ (Р. 1947 Г.)
Нет никаких сомнений, что Юрий Матиясевич был одаренным ребенком. В 17 лет он стал победителем математической олимпиады, проходившей не где-нибудь, а в Москве. Он является почетным доктором многих университетов и членом различных академий наук, однако для математиков все эти регалии не имеют особого значения. Для них важно, что Матиясевич внес основной вклад в решение десятой проблемы Гильберта, в теории графов его именем назван полином, а его число Эрдёша равно 2. Матиясевич заинтересовался десятой проблемой Гильберта в 1965 году, в 18 лет, спустя всего год после поступления в университет.
В 22 года он нашел ее решение, что стало большим событием в мире математики. Джулия Робинсон писала в письме Матиясевичу: «Теперь, когда я знаю, что это правда, все это кажется мне прекрасным и удивительным. Если тебе в самом деле всего 22 года, мне доставляет особое удовольствие думать, что когда я сформулировала свою гипотезу, ты был еще ребенком, и мне следовало лишь дождаться, пока ты подрастешь».
Юрий Матиясевич в 1969 году, когда он нашел решение десятой проблемы Гильберта.
Представить себе ход мыслей Матиясевича непросто. Приведем всего один элементарный пример, который Юрий Матиясевич предложил в юности, когда ему было всего 24 года, вместе с Сергеем Стечкиным (1920–1995). Постройте параболу так, как показано на иллюстрации. Сделать это очень просто, но на всякий случай укажем, что эта парабола описывается уравнением у = х2. Обозначьте на ней точки с ординатами 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Соедините верхние точки с нижними.
Что общего будет у всех точек, отмеченных на горизонтальной оси? Их координатами будут простые числа. Через эти точки не проходит ни одна прямая. Это построение, которое можно назвать математической игрой, называется решетом Матиясевича — Стечкина и доступно любому старшекласснику, но у всякого любителя математики при его виде перехватит дыхание. Таков Юрий Матиясевич.
* * *
Скажем несколько слов о менее известной грани личности Джулии Робинсон — о Джулии Робинсон как о политике. Она была дальней родственницей Эдлая Стивенсона (он был двоюродным братом ее мужа). Их взгляды во многом совпадали, и в 1950 году Джулия вышла на политическую сцену: она оставила математику и присоединилась к избирательной кампании Стивенсона. Когда Эйзенхауэр одержал над ним победу (причем дважды), Джулия, должно быть, испытала разочарование, а математики, занимавшиеся десятой проблемой Гильберта, напротив, вздохнули с облегчением. Как бы то ни было, Джулия Робинсон много лет была членом демократической партии.
Напоследок заметим: Джулия Робинсон всегда была сторонницей свободного доступа к знаниям и равных возможностей для всех — и мужчин, и женщин.
Мир математики знал много прославленных женщин. Почти ни одной из них не удалось достичь такой известности, как Эйлеру, Гауссу или Гильберту, однако на протяжении большей части истории человечества занятия математикой по причинам, отмеченным во введении к этой книге, были доступны далеко не всем женщинам, и биографии героинь этой книги стали еще одним тому доказательством. Как однажды сказал Иисус, проще верблюду пройти сквозь игольное ушко, чем богатому войти в царство небесное. Если мы заменим «богатого» на «женщину», а «царство небесное» — на «царство математики», то получим столь же верное высказывание.
Эта книга, которая заканчивается рассказом о Джулии Робинсон, могла быть более объемной и современной, ведь, к счастью, в последние годы появилось множество выдающихся женщин-математиков. Вот лишь некоторые имена, зазвучавшие в недавнем прошлом: Алисия Буль Стотт, Мария Кюри, Хильда фон Мисес, Грейс Чисхольм Янг, Ольга Таусски-Тодд и другие. Среди последних известных имен на страницах истории остались Фань Чунь, Мэри Рис, Сунь-Юнь Чан, Ингрид Добеши, Ирен Фонсека, Нэнси Копелл, Дуса МакДафф, Раман Паримала, Джин Тейлор, Абигайл Томпсон, Карен Уленбек и другие.
