Поразмыслив над открытием Хазанова, я понял, что площадь -2nq2 не может быть площадью всей плоскости Лобачевского, которая бесконечна, а является площадью всей проективной плоскости, в которой плоскость Лобачевского занимает область ограниченную коническим сечением, называемым абсолютом. Часть проективной плоскости, находящаяса вне абсолюта, называется идиальной областью полоскости Лобачевского. Прямые, которые лежат в этой плоскости, замкнуты и имеют чисто мнимую длину 2inq, а расстояние от каждой точки плоскости Лобачевского до прямой в идиальной области, являющейся полярой этой точки относительно абсолюта, равно inq/2. Отсюда следует, что величина inq/2равна площади треугольника, одна вершина которого - точка А, а две другие вершины лежат на поляре точки А. Если величина угла А стремится к 2л, угол при вершине А расширяется и в пределе покроет всю проективную плоскость. Поэтому площадь всей проективной плоскости, равная пределу величины q2 при стремлении А к 2л, будет равна -2nq2.
Я посоветывал Тлупову рассмотреть не только пространство Лобачевского, а все проективное пространство, состоящее из пространства Лобачевского, его абсолюта и его идиальной области, объем этого пространства - чисто мнимое число. Тлупов успешно защитил кандидатскую диссертацию в Тбилиси.
Ученики по историки науки
Во время работы в ИИЕТ я руководил несколькими диссертациями по истории математики..
З.А.Скопец попросил меня помочь преподавательнице Ярославского пединститута Леде Черкаловой, руководитель которой умер. Диссертация ее была об истории развития понятия вещественного числа в Европе. Черкалова защитила кандидатскую диссертацию в ИИЕТ.
На семинаре по истории математики МГУ С.А.Яновская познакомила меня с преподавательницей Бухарского пединститута Мухаббат Ахадовой и просила дать ей тему для диссертации. Как большинство узбеков Бухары, Ахадова владела таджикским языком. Поэтому я предложил ей рассмотреть сочинения Ибн Сины на персидско-таджикском языке. Она защитила кандидатскую диссертацию на эту тему в 1966 г. в Ташкентском университете.
На защите Ахадовой я познакомился с Нурией Хайретдиновой, работавшей в Ферганском пединституте. По моему совету она приехала в Москву и стала стажером - исследователем ИИЕТ. Я предложил ей изучить анонимную стамбульскую рукопись ''Собрание правил науки астрономии", которая являлась трактатом по сферической тригонометрии. Микрофильм этой рукописи я незадолго до этого получил из Швеции. Нурия, которая уже раньше освоила арабский язык, взялась за перевод и изучение этой рукописи и опубликовала статью в ИМИ, а перевод важнейшей части этого трактата - в сборнике "Физико-математические науки в странах Востока". Нурия защитила кандидатскую диссертацию в ИИЕТ в 1968 г. После защиты Нурия получила должность доцента сначала в филиале Московского Строительного института в Егорьевске Московской области, а затем в самом этом институте и перевезла из Ферганы мать и дочь. Нурия активно продолжала заниматься историей математики средневекового Востока. Я уже упоминал нашу совместную книгу о Сабите ибн Корре, вышедшую в 1994 г. в Москве.
В тот же период под моим руководством написали диссертации по истории математики Средней Азии - Муборак Шарипова из Душанбе, Абдуманнон Абдурахманов из Ташкента, по истории математики в Асербайджане - Эдик Григорья из Баку, о статике в странах Востока - Татьяна Столярова, об астрономических трактатах ал-Хорезми и ал- Фергани -Надежда Сергеева, о развитии теории отражения света в древности и на средневековом Востоке - Наталья Орлова, о математических методах, применяемых при конструировании астрономических инструментов - Асиф Таги-заде, об астрономическом труде хорезмского ученого XIII в.
ал-Чагмини и о комментариях к нему туркменского ученого XIV в. ат-Туркумани - Мухаммед-Назар Атагаррыев, о развитии теории геометрических конфигураций в XIX-XX вв. и связи этой теории с алгеброй и конечной геометрией - Валентина Алябьева из Перьми.
Все эти аспиранты защитили кандидатские диссертации и работали доцентами в различных вузах.
В своих диссертациях Таги-заде показал, что методы применяемые при коструировании астролябий, по существу совпадают с методами современной номографии, а Атагаррыев доказал, что метод определения кыблы - направления на Мекку, которое необходимого при построении мечетей, применявшийся ал-Чагмини и ат-Туркумани основан на использовании стереографической проекции небесной сферы на плоскость астролябии.
Ирине Лютер я предложил изучить математические трактаты Ибн Синана. При изучении трактата о построении конических сечений Лютер установила, что в этом трактате Ибн Синан применял проективные преобразования. Под руководством М.М.Рожанской Лютер расширила эту тему и в 1993 г. защитила кандидатскую диссертацию об истории геометрических преобразований в древности и на средневековом Востоке.
Ученики по геометрии
Во время работы в ИИЕТ я руководил многими аспирантами -
геометрами Коломенского пединститута и МГПИ, где я в это время работал по совместительству.
Аспиранты МГПИ, как правило, выбирались из числа преподавателей пединститутов, приезжающих в МГПИ для повышения квалификации или на стажировку.
Различным вырожденным неевклидовым геометриям и геометриям квазипростых групп Ли были посвящены диссертации Ирины Лущицкой из Ташкента, моего бакинского студента и аспиранта МГПИ Ильи Горжалцана, коломенских аспирантов Тамары Богуславской, Ларисы Любишевой, Ларисы Маркиной, Людмилы Никитиной, Надежды Адамушко, Людмилы Андреевой, Людмилы Егоровой, Татьяны Орловской, Анны Мартаковой, Надежды Панкиной, коломенской преподавательницы Ирины Семеновой, москвичей Натальи Денисовой, Олега Сдвижкова, Дилором Джурабековой и Джаханары Мамедовой из Душанбе, Зарылбека Кутманова из Бишкека, Альбины Руденко из Владивостока.
Дифференциальной геометрии семейств прямых и плоскостей посвящены диссертации Тамары Семеновой и Людмилы Львовой из Коломны, москвича Сергея Атанасяна, Хабибы Абдурахмановой из Ташкента, Ирины Савоськиной из Калуги, Ольги Зацепиной из Рязани, Альфии Шабаевой из Салавата, Полины Стеганцевой из Запорожья.
Моя коломенская студентка и аспирантка МОПИ Людмила Лобанова защитила диссертацию о геометрии над произвольными коммутативными алгебрами. Илья Чахтаури из Тбилиси - о пространствах дробной размерности над алгебрами матриц. Надежда Заблоцких из Коломны - об октонионных геометриях с классическими фундаментальными группами. Тамара Оганезова из Коломны - о применении неевклидовой геометрии к начертательной геометрии. Москвичка Татьяна Кузнецова - о биоктанионных геометриях и их аналогах. Виктор Малютин из Ставрополя - об однородных пространствах, определяемых тернарами. Абдуллаазиз Артыкбаев из Ташкента - о решении задач геометрии в целом в простраствах с проективными метриками. Константин Гиберт из Магадана - о геометрии n-цепей и ее применении к теории функций от элементов некоммутативных алгебр. Тамара Степашко (Тимошенко) из Хабаровска - о параболических пространствах. Валентина Баранова из Челябинска - о дифференциальной геометрии поверхностей коразмерности 2. Раиса Выплавина из Комсомольска на Амуре - об эрмитовых метриках в алгебрах и их применении к геометрии вещественных пространств. Наталья Шульга из Мозыря - о линейчатой геометрии многомерного пространства Лобачевского. Нгуен Данг Фат из Вьетнама - о пространствах с переменным абсолютом. Лариса Антонова из Улан Уде - о вещественных кривых и поверхностях в двойных квадратичных простраствах. Татьяна Юхтина из Горноалтайска - о геометрии многообразий погруженных в пространства над некоммутативными алгебрами. Миланка Попович из Югославии - о циклографических методах в начертательной геометрии пространства Лобачевского.
