Секционная кривизна 2n-мерного и 4n-мерного римановых пространств изометричных n-мерным комплексному и кватернионному эрмитовым эллиптическим пространствам в 2-мерных направлениях равна K=(1+3cos j)/r2, где j - угол голоморфности 2-мерной площадки в этом направлении, К=1/r2 в антиголоморфных площадках и К=4/r2 в голоморфных площадках. Поэтому римановы пространства изометричные комплексным и кватернионным эрмитовым эллиптическим пространствам называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны. В этих пространствах можно определить также формулы тригонометрии, которые связывают длины сторон a, b, c геодезических треугольников, их углы А, В, С и углы голоморфии в их вершинах.
Угол голоморфии, голоморфные и антиголоморфные площадки, выражение секционной кривизны в 2-мерном направлении через угол голоморфии и формулы тригонометрии можно определить и в других комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространствах. Римановы и псевдоримановы пространства изометричные этим комплексным и кватернионным пространствам также называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны.
Комплексные и кватернионные эрмитовы эллиптические и гиперболические пространства допускают интерпретации в вещественных 2n-мерном и 4n-мерном евклидовых пространствах. Гиперболические эрмитовы пространства допускают интерпретацию в шарах евклидовых пространств, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются сечениями шаров, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, а геодезические линии римановых пространств, изометричных гиперболическим пространствам, изображаются диаметрами этих сечений и дугами окружностей ортогональных гиперсферам, ограничивающим шары. Эллиптические эрмитовы пространства допускают интерпретации в полных евклидовых пространствах, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, пересекающимися с некоторой гиперсферой, а геодезические линии римановых пространств, изометричных эллиптическим пространствам, изображаются прямыми линиями и окружностями, пересекающими эту гиперсферу в парах диаметрально противоположных точек.
Аналогичные эрмитовы неевклидовы пространства определяются над алгеброй C' двойных чисел и алгеброй H' псевдокватернионов. В отличие от пространств над полем С и телом Н в случаях алгебр C' и H' имеется только один вид эрмитовых неевклидовых пространств - эллиптические пространства ; n-мерные пространства этого типа изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса n и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2n.
Над алгеброй С' двойных чисел можно определить такие же квадратичные пространства, как и над полем R, причем каждое из этих пространств над алгеброй C' допускает интерпретацию в виде пары одноименных вещественных пространств.
Геометрии пространств над полем C, телом H и алгебрами C' и H' посвящены 6 глава в моей книге 1955 г. и несколько глав в моей книге 1997 г. В этих главах описаны многие мои результаты и результаты моих учеников.
Группы Ли
Если группа явлается топологическим пространством и групповые операции являются гомеоморфными отображениями пространства на себя, такая группа называется топологической группой. Если топологическая группа является аналитическим многообразием, она называется группой Ли. В касательном пространстве в единице группы Ли определена операция коммутирования, ставящая в соответствие каждым двум векторам а и b их коммутатор [ab], причем выполняются условия [ab]=-[ba] и тождество Якоби [a[bc]]+[b[ca]]+[c[ab]]=0. Линейное пространство с такой операцией называется алгеброй Ли. Если из единицы е гроппы Ли выходит однопараметрическая подгруппа g(t), причем g(0)=e, g(t1+t2)=g(t1)g(t2), то за координаты вектора а алгебры Ли касательного к этой подгруппе можно принять производные координат элемента g(t) по t при t=0. Если подгруппам g(s) и h(t) соответствуют векторы а и b, то сумма a+b соответствует произведению g(s)h(t), a коммутатор [ab] cooтветствует произведению g(s)h(t)g(-s)h(-t).
Две группы Ли, алгебры Ли которых совпадают, называются локально изоморфными и алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локального изоморфизма.
Группа Ли называется простой, если она не содержит инвариантных подгрупп меньшей размерности. Группа Ли называется полупростой, если она не содержит разрешимых инвариантных подгрипп.
Алгебра Ли полупростой группы Ли изоморфна прямой сумме алгебр Ли нескольких простых групп Ли.
Всякая некоммутативная простая группа Ли полупроста.
Так как группа Ли является аналитическим многообразием, всякой вещественной группе Ли G соответствует комплексная группа Ли CG, являющаяся ее комплексной формой.
Топологическое пространство называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное покрытие. Среди вещественных групп Ли с общей комплексной формой имеется одна (определенная с точностью до локального изоморфизма) компактная и несколько некомпактных групп. Комплексные группы Ли всегда некомпактны.
В алгебре Ли любой группы Ли можно определить квадратичную форму Ф Киллинга-Картана. Условием полупростоты группы Ли является невырожденность формы Ф. В случае компактных полупростых групп Ли форма Ф является отрицательно определенной, в случае некомпактных полупростых групп Ли форма Ф - знаконеопределенная. Если в последнем случае форма Ф приводится к алгебраической сумме N отрицательных и Р положительных квадратов, разность Р-N называется характером некомпактной полупростой группы. Форма -Ф определяет инвариантную метрику Картана в полупростой группе Ли, риманову в случае компактных групп и псевдориманову индекса Р в случае некомпактных групп. В любых группах Ли однопараметрические подгруппы этих групп и их классы смежности определяют инвариантную аффинную связность.
Элемент а алгебры Ли полупростой группы Ли называется регулярным, если множество элементов b этой алгебры, для которых [ab]=0, имеют наименьшую размерность. Эта наименьшая размерность называется рангом полупростой группы Ли. Указанное подмножество элементов алгебры Ли полупростой группы Ли, называется подалгеброй Картана этой алгебры, а коммутативная подгруппа группы Ли, соответствующая этой подалгебре, называется подгруппой Картана.
Если h - элемент подалгебры Картана Н алгебры Ли полупростой группы Ли G, а g - произвольный элемент этой алебры Ли, то коммутатор [hg] является векторной линейной функцией элемента g и может быть записан в виде Аg, где А - линейный оператор. Для всех элементов h соответственные операторы А имеют одни и те же собственные векторы, а собственные числа операторов А, соответствующих одному и тому же собственному вектору, являются линейными формами j =uh на линейном пространстве Н, где - u ковектор, определяющий линейную форму. Формы j называются корневыми формами группы G. Так как ковекторы u в случае евклидовой или псевдоевклидовой метрики в подалгебре Н, порождаемой метрикой Картана в группе G, можно рассматривать как векторы, то ковекторы u называют корневыми векторами группы G.
