Коническим сечениям были посвящены не дошедшие до нас сочинение Аристея "О телесных геометрических местах" и "Начала конических сечений" Евклида, а таже несколько сочинений Архимеда. Архимед определил также "сфероиды" - эллипсоиды вращения, "тупоугольный коноид"- одну полость двуполостного гиперболоида вращения и "прямоугольный коноид" - параболоид вращения.
Аполлоний в "Конических сечениях", в отличие от его предшественников, рассматривал не только прямые, но и наклонные круговые конусы, и сечение этих конусов произвольными плоскостями, а также плоские сечения конических поверхностей, расположенных по обе стороны от вершины конуса. Так как при этом старые названия конических сечений теряют свой смысл, Аполлоний дал коническим сечениям новые названия "парабола", "эллипс" и "гипербола" вместо применявшихся Менехмом, Евклидом и Архимедом названий "сечение прямоугольного конуса", "сечение остроугольного конуса" и "сечение тупоугольного конуса". Аполлоний определил эти кривые как сечения поверхности одного и того же прямого или наклонного кругового конуса, расположенной по обе стороны от вершины конуса. Словом "гипербола" Аполлоний называл только одну ветвь гиперболы, а обе ветви гиперболы он называл "противоположными гиперболами".
Аполлоний нашел уравнения параболы, эллипса и гиперболы в виде y2=2px, y2=2px-(p/a)x2 и y2=2px+(p/a)x2 в системе координат, одной из осей которых является произвольный диаметр сечения, а другой - касательная к сечению в конце этого диаметра. Эта система координат в общем случае является косоугольной.
Названия Аполлония параболы, эллипса и гиперболы означают, соответственно, "приложение", "недостаток" и "избыток". Эти названия связаны с тем, что при построении точек параболы применяется приложение к отрезку 2р прямоугольника с высотой х равновеликого квадрату со стороной у, а при построении точек эллипса и гиперболы применяется "приложение с недостатком" и "приложение с избытком". Аполлоний называл отрезок 2р "прямой стороной" сечения, а отрезок 2а - "поперечной стороной" эллипса или гиперболы.
Аполлоний понимал, что аналогом эллипса является пара противоположных гипербол. Поперечная сторона эллипса или гиперболы равна отрезку оси абсцисс между ее точками пересечения с эллипсом или с двумя ветвями гиперболы. Если перенести ось ординат параллельно так, чтобы она проходила через центр эллипса или гиперболы, уравнения этих кривых примут вид x2/a2 + y2/b2 =1 и x2/a2 - y2/b2 =1, где b2 =ap.
Аполлоний рассматривал метрические свойства конических сечений - оси симметрии, фокусы и инверсии относительно окружности, эллипса, гиперболы и параболы; аффинные свойства - диаметры, центр, сопряженные диаметры, асимптоты и касательные; проективные свойства - полюсы и поляры, двойные отношения, гармонические четверки точек.
Термины "абсцисса" и "ордината" происходят от латинских переводов тех выражений, которыми Аполлоний называл эти отрезки.
Аполлоний называл осью наклонного кругового конуса прямую, соединяющую вершину А конуса с центром круга основания. Если конус пересечен плоскостью конического сечения и эта плоскость высекает из плоскости основания конуса прямую DE, Аполлоний опускал на эту прямую из центра основания перпендикуляр, пересекающий поверхность конуса в точках B и C. Треугольник ABC, проходящий через ось конуса и его вершину А, Аполлоний называл осевым треугольником. Плоскость конического сечения, высекает из поверхности конуса эллипс, параболу или две ветви гиперболы. Осью Оx служит линия пересечения секущей плоскости с плоскостью треугольника ABC, ось Oy параллельна прямой DE. В случае эллипса и гиперболы Аполлоний выражал отношение 2а/2p через углы треугольника ABC и угол между прямыми BC и Ох. В случае пораболы Аполлоний выражал отношение 2р/АО через углы треугольника ABC.
Пары точек гармонических четверок Аполлоний называл "имеющими то же самое отношение". В современной математике отношения отрезков, составляющих двойное отношение гармонической четверки точек отличаются знаком, но античные математики, не применявших отрицательных величин, считали эти отношеня равными.
Используя двойные отошения, Аполлоний по существу рассматривал проективные ряды точек прямых и проективные пучки прямых и пользовался тем фактом, что коническое сечение можно получить как геометрическое место точек пересечения соответственных прямых двух проективных пучков. Этот факт в явном виде сформулировал только Якоб Штейнер (1796-1863). Аполлоний пользовался также тем, что касательные к коническому сечению соединяют точки двух проективных прямых, связанные проективным соответствием между этими прямыми.
Аполлоний доказал, что два конических сечения могут иметь не более 4 общих точек, а через 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой проходит единственное коническое сечение.
Аполлоний определял фокусы эллипса и гиперболы, как такие точки большой оси эллипса и вещественной оси гиперболы, которые лежат на поперечной стороне сечения, соответствующей этой оси, и обладают тем свойством, что произведение расстояний от этих точек до вершин сечения равно b2=ap и называл фокусы "точками начал приложений". Под приложениями он понимал прямоугольники, стороны которых равны расстояниям от фокуса до вершин сечения. Поэтому абсциссы х фокусов эллипса удовлетворяют условию x(2a-x)=ap и абсциссы х фокусов гиперболы удовлетворяют условию х(2а+х)=аp. Умножая обе части этих равенств на p/a мы получим в обоих случаях соотношение y2= p2, которое показывает, что в силу определения Аполлония, абсолютные величины ординат точек эллипсов и парабол, ординаты которых совпадают с ординатами фокусов, равны p.
Аполлоний доказал, что если вершины эллипса или гиперболы - точки А и B, касательные к сечениям в этих точках - прямые AC и BD, E - произвольная точка сечения, прямая CD - касательная к сечению в точке Е, а F и G - фокусы, то углы CFD и CGD - прямые для всех точек Е, а угол CEF равен углу GED.
В силу последнего равенства, если из одного фокуса эллипса выходят лучи света, то, отразившись от эллипса, они соберутся в другом его фокусе, и если в этом фокусе будет находится горючий материал, он загорится. Этим объясняется введенный Иоганнесом Кеплером (1571-1630) термин "фокус", происходящий от латинского слова focus - "очаг". В силу того же равенства, лучи, выходящие из фокуса гиперболы, отражаются от нее таким образом, что продолжения отраженных лучей пройдут через второй фокус гиперболы. Сам Аполлоний о свойствах световых лучей, выходящих из фокусов эллипса и гиперболы, не упоминал. Аполлоний доказал утверждения равносильные тому, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е сечения с абсциссами х в случае эллипса равны a+ex и a- ex, а в случае гиперболы равны ex+a и ex-a, где е - эксцентриситет эллипса, равный 1-p/a и эксцентриситет гиперболы, равный 1+p/a. Отсюда следует, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е эллипса и гиперболы равны произведениям е на расстояния от точек Е до прямых х = a/e и х =-a/e. Эти прямые в настоящее время называются директрисами эллипса и гиперболы.
