Глава 3. СИММЕТРИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ Симметрии, двойственность и тройственность
В главе "Пространства и группы" я упоминал принцип двойственности проективной геометрии и обобщения этого принципа, предложенные Э.Картаном, в том числе принцип тройственности, а также группы, которые И.М.Гельфанд предложил называть двойственными и тройственными по Картану. Обобщения принципа двойственности, предложенные Картаном, связаны с двусторонней и трехсторонней симметриями диаграмм Дынкина соответственных групп Ли.
Многие мои работы, начиная с докторской диссертации и работы 1949 г., помещенной в сборнике моих переводов работ Картана, посвящены образам симметрии различных пространств, образующим модели симметрических пространств Картана, определяемых двусторонними симметриями. Образы симметрии различных пространств изучались и многими моими учениками. В моей книге 2003г. совместной с М.П. Замаховским рассматриваются обобщения симметрических пространств, называемые периодическими пространствами. Эти пространства определяются k-сторонними симметриями при k >2.
Симметрии привлекали внимание математиков и философов еще в древности. Правильные многогранники, обладающие максимальной симметрией, были открыты пифагорейцами и играли особую роль в философии Платона, вследствие чего их часто называют "платоновыми телами". Платон считал, что атомы четырех греческих элементов имеют форму четырех правильных многогранников: атомы огня имеют форму правильного тетраэдра, атомы воздуха - форму октаэдра, атомы воды - форму икосаэдра, а атомы земли - форму куба. Форму пятого правильного многогранника - додекаэдра по мнению Платона имеет мир в целом, а на 12 гранях этого додекаэдра по его мнению изображены 12 знаков зодиака. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов, группы симметрии октаэдра и куба - из 48 элементов, группы симметрии икосаэдра и додекаэдра - из 120 элементов.
Великий математик первой половины ХХ века Герман Вейль в своей книге "Симметрия" отметил, что изображения божеств, святых и священных животных в ассиро-вавилонском, древнегреческом, римском и средневековом искусстве всегда симметричны. Симметрия этих изображений указывает на то, что их авторы ощущали глубокую связь между божественным и симметричным.
Двойственность у пифагорейцев
Пары противоположных свойств играли важную роль в философии пифагорейцев. Аристотель писал о них в своей "Метафизике": "Пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое".
Из этих пар противополижностей 1-я, 4-я,7-я и 10-я пары относятся к геометрии, 2-я и 3-я - к арифметике, 5-я - к биологии, 6-я - к механике, 8-я - к физике, 9-я - к этике. Пифагорейцы рассматривали все эти пары противоположностей вместе потому, что они не выделяли отдельных наук из единой универсальной науки.
В каждой паре противоположностей первую пифагорейцы считали совершенной, а вторую - несовершенной.
Пифагорейцы отождествляли единицы не только с точками, но и с душами неродившихся или умерших людей, а вещи, в том числе тела людей, отождествлялись с числами, поэтому пифагорейская пара противоположностей "единое и множество" по существу совпадает с парой "душа и тело".
Пара противоположностей "единое и множество" - такая же древняя, как пара "душа и тело". Первоначально это были два первых числа, впоследствии второе из этих двух "чисел" превратилось в число 2, и "чисел" стало три - 1, 2 и "много". Затем это новое "много" превратилось в число 3 и появился числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, "много". Впоследствии и этот ряд расширился и последнее слово "много" превратилось в число 7. О том, что слово "семь" первоначально обозначало неопределенно большое количество, свидетельствуют русские пословицы "семь бед - один ответ", "у семи нянек дитя без глаза", "один с сошкой - семеро с ложкой", "семь раз отмерь, один раз отрежь". Позже такими числами, названия которых прежде обозначали неопределенно большое количество, стали 12 и 40. Числа 2, 3, 7, 12 и 40 и позже сохранили мистический характер, этим объясняется особая роль этих чисел во многих религиях и культурах.
Среди 7 "планет" древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие "свету и тьме" и Марс и Венера, соответствующие "мужскому и женскому", которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 "планет" удалить эти две пары, мы получим "античную троицу" - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса-Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.
Симметричная и асимметричная двойственность
Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.
Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а "двойственность по Картану", определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и "парой противоположных гипербол", которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.
Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.
Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.
