Рис. 12. Рисунок Галилея, иллюстрирующий испытания консольной балки.
Рассмотрим простую конструкцию типа крана, изображенную на рис. 13, а. Сжатый стержень 2 опирается на стену и поддерживается струной 1, таким образом он может воспринимать внешнюю нагрузку (назовем ее W). Очевидно, сила, противодействующая нагрузке W, возникает вследствие сжатия наклонного стержня 2. Натяжение горизонтальной струны 1 лишь предохраняет сжатый стержень 2 от поворота и падения.
С таким же успехом мы можем воспользоваться другой треугольной конструкцией (рис. 13, б), в которой сжатый стержень 4 занимает горизонтальное положение и удерживается от падения наклонной растянутой струной 3. В этом случае сила, удерживающая вес W, обеспечивается струной, а горизонтальный сжатый стержень необходим лишь для того, чтобы струна не прижималась к стене.
Обе эти конструкции одинаково хороши, и мы можем объединить их в одну, способную выдержать вес 2W, как показано на рис. 13, в. Ясно, что нагрузка 2W непосредственно воспринимается наклонными элементами 2 и 3, один из которых сжат, а другой растянут. Горизонтальные элементы 1 и 4 воздействуют на стену, один из них давит, другой - тянет, вместе они обеспечивают целостность конструкции, но не поддерживают вес груза непосредственно.
Рис. 13. Сопоставление напряженного состояния в сплошной балке и решетчатой ферме.
Пристроив к полученной конструкции еще одну, точно такую же, мы получим новую ферму, показанную на рис. 13, г. В этом случае тот же самый груз 2W поддерживается сжатыми и растянутыми наклонными элементами 2, 3, 6 и 7, в то время как элементы 1, 5, 4 и 8 сжаты и растянуты в горизонтальном направлении и, хотя они не поддерживают внешнюю нагрузку непосредственно, благодаря им ферма не рушится. Получается, что каждый элемент выполняет свою функцию и, если хотя бы один стержень или одна струна выйдет из строя, катастрофа неизбежна: каждый элемент по-своему важен.
Теперь посмотрим, как передается в нашей ферме нагрузка от элемента к элементу. Правая ячейка на рис. 13, г работает точно так же, как единственная ячейка на рис. 13, в. Однако в левой (внутренней) ячейке на рис. 13, г дело обстоит иначе. Растягивающее напряжение в струне 1 вдвое больше напряжения в струне 5, а сжатие в стержне 4 в два раза превышает сжатие в стержне 8. Это происходит потому, что диагональные элементы (назовем их "сдвиговыми") добавляют нагрузку на элементы, расположенные по направлению к месту заделки консоли. Однако во всех сдвиговых элементах независимо от длины фермы нагрузка одинакова.
Мы можем продолжать нашу ферму, пристраивая к ней все новые и новые ячейки, как это показано на рис. 13, д. Внимательно посмотрев на рисунок, мы поймем, что и здесь напряжения во всех диагональных элементах одинаковы. С другой стороны, напряжения сжатия и растяжения в нижних и верхних горизонтальных элементах от ячейки к ячейке возрастают (если двигаться от точки приложения нагрузки к месту заделки консоли). Нетрудно доказать, что это возрастание напряжения пропорционально номеру элемента (опять-таки считая от точки нагружения). Именно поэтому консоль всегда ломается в месте заделки, у стены, где возникают наибольшие напряжения, если, конечно, заранее не позаботиться о ее прочности и не подобрать все стержни соответственно действующей нагрузке. Если такой подбор сделан строго пропорционально нагрузке, то ферма становится равнопрочной, то есть может сломаться в любом месте, а это идеальный случай, составляющий цель многих расчетов на прочность. Совершенно ясно, почему мы хотим, чтобы материал был напряжен во всех точках одинаково; в этом случае материал используется с максимальной эффективностью, а конструкция имеет минимальный вес.
Если теперь мы преобразуем нашу ферму или балочку, построенную из детского конструктора, в сплошную балку, то получим систему напряжений, изображенную на рис. 13, е. В средней по высоте части балки под углом 45° к оси действуют главным образом сдвиговые напряжения, неизменные по длине балки. Материал верхней и нижней частей балки нагружен в основном растяжением и сжатием. Горизонтальные напряжения растяжения-сжатия быстро возрастают по длине балки и в наиболее опасном сечении становятся намного больше сдвиговых напряжений. Именно эти напряжения обычно повинны в разрушениях балочных конструкций и тяжелых несчастных случаях, которые за ними следуют. Вот почему вычисления, связанные с расчетом напряжений, - это совсем не сухие академические упражнения, интересные только специалистам, они прямо связаны с безопасностью и благополучием большинства из нас.
Если вся эта охота за напряжениями покажется читателю несколько непонятной, лучше всего сделать модель из детского конструктора или из соломинок для коктейлей, скрепляя их обыкновенными булавками. Поразмыслив над такой моделью, вы поймете, что представляет собой консоль вообще и как она выдерживает нагрузку. Конечно, сколь сложным бы ни было напряженное состояние, мы должны отдавать себе отчет в том, что любое напряжение связано с деформацией, поэтому консоль неизбежно должна в большей или меньшей степени прогибаться под нагрузкой (рис. 13, ж).
Консоли широко распространены в технике, но еще чаще используются обычные балки, вроде тех, которые принято называть "свободно опертыми" (рис. 14). Примером такой балки может служить доска, переброшенная через канаву или ручей. Как же такая балка соотносится с консольной? Наглядный ответ на этот вопрос дает рис. 14. Дело в том, что свободно опертую балку можно рассматривать как две консоли, жестко связанные друг с другом в местах заделки и перевернутые на 180°. В то время как наибольшее напряжение в консоли возникает в месте ее заделки, в нашей новой балке оно будет в центре. Поэтому такие балки обычно ломаются пополам.
Рис. 14. Свободно опертая балка, которую можно рассматривать как две консоли, сложенные вместе у заделок и перевернутые на 180 градусов.
Теперь нам понятно, почему мы не проваливаемся сквозь пол: напряжения в досках передаются зигзагами, под углом 45° к поверхности, от наших подошв до стены, обеспечивая в результате силу, направленную вверх, которая нас и держит. Вместе с этими сдвиговыми напряжениями в доске вблизи верхней и нижней ее поверхностей возникают напряжения растяжения - сжатия, направленные горизонтально. Если по какой-либо причине эти напряжения окажутся слишком большими (на доску наступил чересчур грузный человек или сама доска слишком тонка), мы сначала обнаружим тревожный прогиб доски, а уж затем раздастся треск.
Каждый может поставить простой эксперимент, который покажет, что напряжения и перемещения, вызванные изгибом, намного опаснее тех - при прочих равных условиях, - которые вызваны растяжением или сжатием. Действительно, возьмите какую-нибудь деревянную планку или стержень и попробуйте разорвать ее руками. Как правило, этого вам сделать не удастся, как не удастся и заметить на глаз удлинение вашего образца. Теперь начинайте гнуть стержень, и вы тут же заметите вполне ощутимый прогиб, а возможно, и без особого труда сломаете образец. Этим объясняется то обстоятельство, что балки почти всегда требуют тщательной расчетной проверки прочности и жесткости. Такой расчет может сделать каждый, кто знаком с элементарной алгеброй, по стандартным формулам, приведенным в конце книги.
Мы уже говорили, что разобраться в теории изгиба балок не так-то просто, но, откровенно говоря, особого напряжения интеллекта для этого не требуется, да и многое в технике станет гораздо яснее. По правде сказать, проектируя даже весьма внушительные конструкции, инженеры зачастую пользуются почти элементарной теорией изгиба. Далее мы увидим, что такая практика иногда может быть опасной, поскольку элементарная теория, будучи чрезвычайно полезной, все же не дает нам достаточно полного представления о прочности сложных конструкций. Тем не менее она очень широко используется для прикидочных оценок прочности любых конструкции, от коленчатого вала до морских судов.
Большие балки начали использовать в технике по существу не столь давно, немногим более столетия назад. Английскому инженеру Телфорду (1757–1834) дали много лестных прозвищ за искусство строить мосты, он построил их, вероятно, больше, чем кто-либо другой. Обычно Телфорд применял каменные или чугунные арки, работающие на сжатие, а для больших пролетов первым стал строить подвесные мосты, используя железные цепи (мост через пролив Менай - 1819 год). Вряд ли Телфорд когда-либо применял большие балки, отчасти из-за отсутствия подходящего материала - кованых железных плит, а отчасти оттого, что не было надежной теории балок. Между прочим, об уровне расчетов на прочность в то время можно судить по тому, что форма линии цепей для упомянутого моста определялась не расчетным путем, а на специально построенной большой модели моста, переброшенной через овраг.
