В этом же предисловии Лиувилль объявил о том, что намерен снабдить работу Галуа комментариями, но он никогда их не написал. Лиувилль утверждал, что понять доказательство очень легко, правда, при этом он добавлял: "Достаточно на месяц-другой посвятить себя исключительно этой работе не думая ни о чем другом".'
Это затруднение, в котором в свое время признался Пуассон, хорошо объяснил автор очерка о Галуа математик Бертран: "Прежде чем написать работу, Галуа больше года производил смотр бесчисленной армии сочетаний, подстановок Ему пришлось отобрать и пустить в ход все дивизии, бригады полки и батальоны и выделить простые подразделения Чтобы понять его изложение, читателю нужно познакомиться с этим сборищем, проложить сквозь него дорогу, научиться видеть его в нужном свете. На все это нужны долгие часы и активное внимание. Этого требует сущность темы. И мысли и язык являются новыми. Их не изучить за один день".
Лиувилль не только не написал комментарии, но помешал это сделать другим. Он прочитал для нескольких друзей ряд лекции о теории Галуа. На этих лекциях присутствовал математик Серре. Несколько лет спустя он выпустил "Учебник высшей математики" - об открытиях Галуа в нем не было ни слова. Серре не хотел незаконно воспользоваться правами своего учителя - Лиувилля. Через пятнадцать лет готовилось к выпуску в свет второе издание "Учебника"; в нем 61 страница отводилась теории Галуа. Бертран корректировал оттиски. Но, уступая желанию Лиувилля, Серре из этого издания изъял уже напечатанные страницы. Чтобы уладить дело с наборщиком, он написал столько же страниц на совершенно другую тему.
Почти через сорок лет после смерти Эвариста Галуа, в 1870 г. К. Жордан создал обширный труд (667 стр.) о теории подстановок. Это - по мнению самого автора - лишь комментарий к работе Галуа. Именно труд К. Жордана привлек внимание математического мира к идеям Галуа и принес ему посмертную славу. Во введении хорошо было сказано о значении метода Галуа: "Галуа было суждено дать четкое обоснование теории разрешимости уравнений... Проблема разрешимости, прежде казавшаяся единственным объектом теории уравнений, ныне представляется первым звеном в длинной цепи вопросов, касающихся преобразования и классификации иррациональных чисел. Применяя свои общие методы к этой частной проблеме, Галуа без труда нашел характерное свойство групп уравнений, разрешимых в радикалах".
С появлением книги К. Жордана наступило "второе рождение" теории Галуа. Когда Жордан работал над своим трактатом, к нему приехали два молодых математика - норвежец Софус Ли и немец Ф. Клейн. Они увлеклись идеями Эвариста Галуа и очень многое сделали для дальнейшей разработки его теории. Софус Ли обратился (следуя по пути Галуа) к дифференциальным уравнениям. Ф. Клейн вскрыл фундаментальную роль идей Галуа для геометрии. Работы этих ученых оказались плодотворными для самых различных разделов математики и математической физики.
В 1906-1907 гг. Ж. Таннери опубликовал большую часть из оставшихся посмертных рукописей Галуа - "дань его славе, сияющей все ярче и ярче со времени публикации Лиувилля".
О трудах французского математика знали и в нашей стране. Первая книга в русской литературе, излагающая теорию Галуа, вышла в свет в 1890 г. Это - "Высшая алгебра" М. Е. Ващенко-Захарченко...
Продолжались разработки основных положений Галуа и в алгебре, появилась специальная научная дисциплина "теория Галуа", изучаемая в высших учебных заведениях. Член-корреспондент АН СССР Н. Чеботарев в предисловии к I тому "Основ теории Галуа (1934 г.) писал: "Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли и в другие отделы математики и частью создали, частью продвинули такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т. п.".
И сегодня теория Галуа не является полностью завершенной, многие ее задачи ждут своего решения.
Рукописи Эвариста Галуа сейчас хранятся во французской Академии наук, в той самой Академии, которая в свое время столь высокомерно обошлась с одним из величайших математиков мира.
Галуа Э. Сочинения. Пер. с франц. М.- Л., 1936.
Александров П. Введение в теорию групп. М., 1951.
Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик. Пер. с франц. М., 1960.
Инфельд Л. Эварист Галуа. Пер. с англ. М., 1963.
Чеботарев Н. Основы теории Галуа. М.-Л., 1934, ч. I.
"Воображаемая геометрия" Н. И. Лобачевского
Издавна математика признавалась самой совершенной, самой точной из всех наук. А геометрия считалась венцом математики как по незыблемости ее истин, так и по безукоризненности ее суждений.
И вот русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создает новую геометрическую систему, которую он сам назвал "воображаемой". В архивах университета сохранился документ - сопроводительная записка Лобачевского к докладу, который он представил в физико-математическое отделение. Записка начиналась словами: "Препровождаю сочинение мое под названием "Сжатое изложение начал геометрии о параллельных линиях". Желаю знать мнение о сем ученых, моих сотоварищей". На документе дата - "7-го февраля 1826 г.", внизу - "Слушано 1826 г. 11 февраля".
Итак, 11 февраля 1826 г. в Казани впервые в мире было публично доложено о рождении совершенно новой геометрии, получившей название неэвклидовой.
...Свыше двух тысяч лет в математике господствовала геометрия Эвклида. Но в этой геометрии есть так называемый пятый постулат о параллельных, равносильный утверждению, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам. Постулат этот не представлялся математикам столь очевидным, как другие, и они упорно пытались доказать его. Вот неполный список имен ученых, которые трудились над этой проблемой: Аристотель, Птолемей, Прокл, Лейбниц, Декарт, Ампер, Ла-гранж, Фурье, Бертран, Якоби.
Печальный итог исканиям подвел Гаусс. Он писал: "В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о проблеме в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид. Такое откровенное и открытое признание, на наш взгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств".
Н. И. Лобачевский
Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти "философский камень" в средние века или с бесчисленными попытками создать "вечный двигатель". Геометров не устраивало "темное пятно" в "Началах" Эвклида, а решения не находилось.
Анализируя причины многочисленных неудач своих предшественников, Лобачевский пришел к выводу, что все попытки доказать пятый постулат обречены на неудачу. После длительных поисков русский ученый пришел к удивительному открытию: помимо геометрии Эвклида, существует другая, построенная на отрицании пятого постулата. Лобачевский назвал ее "воображаемой геометрией".
Привычные геометрические представления, законы обычной геометрии здесь заменены новыми.
В геометрии Лобачевского нет подобных фигур; сумма углов треугольника - меньше двух прямых, в ней существует зависимость между углами и длиной сторон треугольника, перпендикуляры к прямой - расходятся и т. д. А пятый постулат Эвклида о параллельных заменен антипостулатом: через указанную точку можно провести множество прямых, не пересекающих данную.
Английский геометр Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии. Подобно тому как Коперник разрушил вековечный догмат о неподвижности Земли, так и Лобачевский разрушил заблуждение о неподвижности единственно мыслимой геометрии.
Еще более высокую оценку подвигу русского математика дал советский ученый В. Каган. Он писал: "Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение".
...Свои мысли о новой геометрии и доложил "сотоварищам" Лобачевский. Но мир не содрогнулся, не пришел в удивление, не восхитился. Доклад слушали невнимательно, никакого обсуждения не было; собравшиеся ничего не поняли. Более того, слушатели - а им посчастливилось узнать о рождении новой науки из уст ее первооткрывателя - не сделали даже попытки что-либо понять. А ведь речь шла о необычном, почти фантастическом строении мира. Решили, что это бредни, лишенные всякого смысла. Для проформы трем профессорам было поручено изучить доклад, чтобы определить его значение.
