= МГ:БК = ГФ:БТ = УС:УХ = АВ:ВД.
Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м:М = М:(м+М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК:АЛ = АЛ:(ВК+ЛЛ) = АЛ:ВД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.
Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.
При помощи изучаемого нами графика можно быстро и с достаточной для практических целей точностью решить все важнейшие задачи средневековых геометров. Упомянутый выше Абуль-Вафа (940–998 гг.) посвятил специальную книгу задачам на построение равновеликих фигур. Со всей строгостью настоящего ученого обрушился он на «методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах», и дал взамен их математически безупречные, но необычайно сложные и громоздкие решения этих задач, руководствуясь «началами» Эвклида. Однако не все задачи, интересовавшие тогдашних практиков, могли быть решены строго математически — такова, например, была древняя задача о нахождении геометрическим путем квадрата, равновеликого кругу, задача «квадратуры круга» [137].
Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольников позволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».
Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).
1. Удвоение квадрата, (рис. 20):
Рис. 20. Приближенное решение квадратуры круга и других задач на равновеликость с помощью «вавилона».
Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2АВ или 2ДЖ).
2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:
Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.
3. Построение трех квадратов на тех же условиях:
Удвоенная линия БЛ (или три другие, ей соответствующие — БИ, ЕН, ЕП) является стороной искомого квадрата.
4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату: сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.
5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:
Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.
6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»).
Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима — 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.
Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто — располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.
Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин:
а√2, а√3, а√4, а√4, а√6…
Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать еще в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».
* * *
Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчетные возможности прямоугольного «вавилона».
Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам еще одну область применения нашего графика.
Возьмем за основу ту меру, которую сами древнерусские люди считали основной и называли «мерной саженью». Размер ее колеблется по разным данным между 176,0-176,8 см [138].
Примем среднюю величину в 176,4 см и построим квадрат со стороной в мерную сажень, а на основе квадрата — прямоугольный «вавилон», длинная сторона которого будет, как известно, тоже равна мерной сажени в 176,4 см.
Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры, (рис. 21):
Рис. 21. Общая геометрическая система древнерусских саженей (сторона квадрата равна 1 мерной сажени).
Великая сажень (249,46 см) — диагональ квадрата.
«Сажень без чети» (197,21 см) — диагональ половины квадрата.
Мерная сажень (176,4 см) — сторона квадрата.
Косая сажень (216,04 см) — диагональ «вавилона».
Прямая сажень (152,76 см) — диагональ короткой половины «вавилона».
«Трубная сажень» (187,08 см) — диагональ длинной половины «вавилона».
Половина великой сажени (124,73 см) — короткая сторона «вавилона».
Только так называемая «морская сажень» не занимает здесь основного положения и может быть приурочена к линии АН (184 см).
Все стороны внутренних прямоугольников «вавилона» являются здесь фракциями двух саженей — мерной и великой.
Пересекающие линии «вавилона» («лестницы зиккурата») также оказываются выраженными в мерах длины: линии БТ и ЦЕ равны локтю (44,1 см), равны 1/4 мерной сажени. Линии ГФ и ШЗ равны 1/2 локтя «смоленского» (31,18 см), равны 1/8 великой сажени.
Таким образом, для построения такого «вавилона» нужно иметь только два «прута по четыре локтя», из которых один равен стороне квадрата, а другой — его диагонали.
Геометрическая сопряженность всех древнерусских мер длины, связанность их определенной общностью, принадлежностью к единой системе становятся особенно ясными тогда, когда мы рассмотрим их с точки зрения «метода построения по системе диагоналей», широко применявшегося еще в архитектуре древнего царства Египта [139].
Если мы построим квадрат, сторона которого равна половине мерной сажени, то диагональ его будет равна половине великой сажени. Отложим диагональ на продолжении двух сторон квадрата, соединим точки и получим прямоугольник со сторонами А и А√2. Диагональ его будет равна А√3 = прямой сажени.
Продолжив построение по этому «принципу диагоналей» новых прямоугольников, мы получим последовательно, (рис. 22):
Рис. 22. Древнерусские сажени в их отношении к мерной сажени (176,4 см).
А√3 = 152,76 — прямая сажень;
А√4 = 176,4 — мерная сажень;
А√5 = 197,21 — «сажень без чети»;
А√6 = 216,04 — косая сажень;
А√8 = 249,46 — великая сажень.
Следовательно, основной принцип архитектурных пропорций древней Руси был заложен в самой системе мер длины. Мы не можем считать их исключительно русскими, так как большинство этих мер, легко воспроизводимых человеком (размах рук, поднятие руки и т. п.), было распространено и у других народов.
Возможно, что именно их геометрическая сопряженность и позволила им сохраниться на Руси в таком полном комплекте. Одна мера была основной («мерная сажень»), а другие были геометрическими производными от нее и могли служить при тех или иных пропорциональных расчетах [140].
Звеном, связывающим символические изображения «вавилона» с конкретной архитектурной действительностью, является драгоценная находка в Старой Рязани.
На глиняной плите
