Наука о часах и развитие математики
С астрономии и науки о часах – гномоники, начинается история науки вообще, а в частности развитие теории астрономических инструментов. Изучая движение солнечной тени, отбрасываемой гномоном, греки Византии и Египта заложили начала тригонометрии; затем ее тщательно разрабатывали индусы, а потом арабы.
Гиппарх, византийский грек, как мы показали, ввел только одну тригонометрическую величину: хорду дуги и дал в качестве тригонометрического пособия таблицу хорд. Она содержала величины хорд, соответствующие углам в круге в частях радиуса, но их было трудно вычислять. Исходными для Гиппарха были хорды в 120, 90, 42, 60 и 36°. Затем Птолемей с большой точностью определил хорды всех углов, последовательно возрастающих на полградуса.
Если византийцы за меру угла принимали хорду, то в средневековой Индии стали прибегать к другим тригонометрическим величинам. Созидательная работа индусов в области гномоники приходится на период до XII века. Индийские математики впервые ввели в употребление половину хорды – синус. Кроме линий синуса, они пользовались линией косинуса и линией синуса-верзуса, что есть разность между радиусом и линией косинуса.
В трактате «Сурья-сиддханта», как и в других «сиддхантах», гномон и его тень фигурируют во многих тригонометрических задачах. Постепенно были сформулированы правила гномоники для определения теней по высоте Солнца и обратное правило – определение высоты Солнца по тени гномона и т. д.; увеличивалось количество введенных в рассмотрение зависимостей между тригонометрическими величинами. Это было актуально для нахождения высоты и азимута Солнца, в зависимости от которых в течение каждого дня определялось время и изменения соответствия между ночными и дневными часами. Именно для нахождения по тем или иным данным высоты Солнца, продолжительности дня и ночи перечислялась последовательность арифметических действий над синусами, синусами-верзусами и радиусом.
В трактате «Сурья-сиддханта» можно найти, хотя и в словесном выражении, теорему косинусов сферической тригонометрии, использованную для определения высоты Солнца.
В VIII–XI веках индийская тригонометрия попадает к арабам.
В 772 году в Багдад ко двору халифа аль-Мансура прибыл один индийский астроном и принес с собой астрономические таблицы. Эти таблицы, содержавшие важную индийскую таблицу синусов, были вскоре по приказанию халифа переведены на арабский язык и приобрели среди здешних ученых большую популярность под названием «сиддхант». Ученые стран ислама, заменив хорды Птолемея синусами и опираясь на вычислительные приемы «Альмагеста» и правила индийской гномоники, ввели в математику остальные тригонометрические функции (тангенс, котангенс, секанс и косеканс).
В это время перенятое у византийцев искусство изготовления угломерных инструментов, различных видов водяных и солнечных часов и других приборов было доведено мусульманскими учеными и мастерами до большого совершенства. Так благодаря применению тригонометрии к решению задач гномоники она из искусства превратилась в подлинную науку.
В Европе интерес к науке гномонике был вызван переходом в конце XIV века на новый счет времени, основанный на равных ночных и дневных часах. Возникла потребность приспособить устройство солнечных часов к этому счету времени. Развитию науки в этом направлении способствовал перевод на латинский язык руководства по гномонике Абу-Али ал Хасана. Последний был пионером в разработке теории и практики создания солнечных часов, ориентированных на измерение равных часов. Работы этого арабского ученого XIII века были хорошо известны в Западной Европе.
Солнечные часы были простым и надежным указателем времени, но страдали некоторыми серьезными недостатками: их работа зависела от погоды и была ограничена временем между восходом и заходом Солнца. Нет сомнений, что из-за этого ученые стали изыскивать иные пути измерения времени, не связанные с наблюдением небесных тел. Также понятно, что новые приборы измерения времени должны были принципиально отличаться от солнечных часов.
Единица времени для солнечных часов выводилась из вращения Земли и ее движения вокруг Солнца; для звездных – из видимого движения звезд. Новые хронометрические приборы (жидкостные, песочные, воздушные, огневые и др.) имели искусственный эталон единицы времени в виде его интервала, необходимого для вытекания, втекания или сгорания определенного количества вещества.
Подобно солнечным часам, эта группа простейших часов прошла долгий путь развития, сопровождавшийся открытием интересных принципов действия и конструктивных элементов. Ведь измерение времени с помощью часов «втечения» или «истечения» было довольно трудным делом: они должны были иметь много шкал или специальных устройств для регулирования поступления или истечения воды. Некоторые из них, например зубчатые передачи, ролики, цепные подвески и гири, нашли применение в последующей эре хронометрии – эре механических часов.
Водяные часы заняли после солнечных второе место по количеству и были самыми важными в этой группе простейших часов.
В литературе часто говорится о них, как о «клепсидрах». Это наименование происходит от сочетания двух греческих слов klepto – брать и udor – вода. Многие, судя по греческому наименованию, ошибочно считают, что именно в Греции они были придуманы. Однако дело обстоит не так: в примитивном виде водяные часы были известны уже египтянам, у которых сохранились, по всей вероятности, самые старые водяные часы в мире. Они были обнаружены в 1940 году в храме Аммона в восточных Фебах, а сейчас хранятся в музее Каира. На внутренней поверхности их алебастрового корпуса наколами обозначено 12 часовых шкал для измерения времени в соответствующих месяцах. Помните, что солнечные часы дают разную длительность часов в разные месяцы? Это и было учтено в египетских водяных часах. Сосуд заполняли до самого верха водой, которая затем вытекала через небольшое придонное отверстие.
Однако есть и загадка. Дело в том, что самой существенной проблемой при создании таких часов была отработка такой формы сосуда, которая обеспечивала бы истечение воды с равномерным понижением уровня. Так вот, упомянутые египетские часы уже давали достаточную равномерность понижения уровня, хоть и с некоторой ошибкой. Это наводит на мысль, что они хоть и древнейшие из известных, но все же не первые.
В античной Греции водяные часы применяли для регламентации времени, предоставляемого ораторам во время судебных процессов. Эти часы были, по существу, большими амфорами, внутренняя поверхность которых имела форму, образованную вращением параболы или эллипсоида, что опять показывает их позднее происхождение: ведь установить зависимость скорости истечения от высоты столба воды и формы сосуда смогли только в Средние века.
Амфора высотой около 1 метра и шириной несколько более 40 сантиметров вмещала около 100 литров воды. При диаметре отверстия истечения в 1,4 мм требовалось почти 10 часов на полное опорожнение сосуда. В воде находился поплавок с прикрепленным к нему длинным стержнем, выступавшим над краем сосуда. На стержне была выгравирована шкала. Время, истекшее после начала истечения воды, указывалось на этой шкале. Поплавок опускался в амфоре равномерно, поскольку уменьшение скорости истечения компенсировалось уменьшающимся внутренним диаметром сосуда.
То, что клепсидра не зависела от света Солнца, сделало из водяных часов прибор, пригодный для непрерывного измерения времени и днем и ночью. К тому же стало возможным развивать некоторые механические элементы. Началось соревнование конструкторов в изобретении остроумных гидравлико-пневматических механизмов: для звуковой сигнализации о времени, для освещения часов ночью; такие элементы можно найти у целого ряда водяных часов арабского происхождения. В руках одаренных воображением мастеров возникли выдающиеся произведения, отличающиеся высокой художественной ценностью и оригинальной функциональностью.
Поистине легендарной фигурой среди мастеров по изготовлению клепсидр считается известный греческий механик Ктесибий Александрийский, живший то ли за 100, то ли за 150 лет до н. э. Римлянин Витрувий даже называет его изобретателем водяных часов.
Сохранились сообщения о двух изготовленных Ктесибием часах, которые ввиду своих особых достоинств заслуживают хотя бы краткого описания. В часах, приводимых в действие водяным колесом, Ктесибий использовал передачу сил и движения зубчатым механизмом, проект которого теоретически наметил еще Аристотель (якобы в IV веке до н. э.). Зубчатая передача соединяла ведущий механизм со шкалой, расположенной на цилиндрической поверхности поворотной колонны и разделенной вертикальными прямыми на четыре основных поля. Система из 24 наклонных линий образовывала, собственно говоря, часовую шкалу для измерения планетных часов. Колонна со шкалой, приводимая в движение водяным колесом, вращаясь вокруг своей оси, совершала один оборот в год. Поэтому и камеры водяного колеса в нижней части часов заполнялись водой медленно, причем вода подавалась в небольшом количестве по особому трубопроводу. Статуэтка со стрелкой двигалась с помощью специального поплавкового механизма, управляемого другой статуэткой, находящейся на другой стороне часов. Слезы – водяные капли, капающие из глаз статуэтки, накапливались в сборники-подставки, откуда через трубопровод текли в поплавковую камеру стрелочного механизма. Кроме того, эти часы имели еще специальное устройство, которое через определенные интервалы выбрасывало на чашку мелкие камешки; это было звуковой сигнализацией.
