оценки
b =
v / 2. Скажем, если ценность лота для нас составляет 600 тысяч рублей (далее будем рассматривать именно этот пример), мы должны указать в качестве ставки 300. Пока это не более чем предположение, подсказанное нашей интуицией, однако можно строго доказать, что это так, и данная стратегия является равновесной, то есть если один участник аукциона использует ее, то второму выгодно делать то же самое.
Пусть конкурент использует указанную стратегию. Тогда его ставки равномерно распределены на отрезке [0; 0,5] (именно на этом отрезке распределена половина ценности), а вероятность нашей победы равна P(b) = 2b. Например, если мы укажем сумму 0,3, то вероятность победы составит 60 %, а ожидаемый выигрыш будет равен (0,6 – 0,3) ×0,6 = 0,18, то есть в среднем мы сможем заработать 180 тысяч. Если же, например, указать сумму 0,5, то можно победить гарантированно, однако ожидаемый выигрыш окажется меньше и составит всего (0,6 – 0,5) ×1 = 0,1, то есть 100 тысяч рублей.
Максимизируем по величине ставки b выписанный выше ожидаемый выигрыш, приравняв производную к нулю:
V = (v – b) P(b) = (v – b) 2b = 2vb – 2b 2 → max,
2v – 4b = 0, b = v / 2.
Таким образом мы доказали, что наилучшим ответом на стратегию «называть половину ценности» является она же, то есть данная стратегия равновесна. Так что участник, истинная ценность картины для которого составляет 600 тысяч рублей, действительно должен подать заявку на 300.
3.1.4. Аукцион первой цены: строгое решение
Довериться интуиции и затем доказать, что она нас не подвела, – это довольно распространенный способ решения нетривиальных задач, в том числе в теории экономических механизмов. Но можно ли было решить задачу математически строго?
Попробуем найти симметричное равновесие, то есть такую функцию превращения ценности в заявку b = f(v), которая является оптимальным ответом на себя саму. Поиск будет происходить в классе монотонно возрастающих дифференцируемых функций, которые стартуют из нуля. Это содержательно означает, что участник аукциона, который совершенно не ценит данный объект, не станет делать на него положительную заявку, а чем больше будет ценность, тем выше ставка, которую он готов поставить.
Для нахождения максимума сначала нужно понять, чему равняется вероятность победы на аукционе. Поскольку предполагается симметричность стратегий в равновесии, конкурент использует такую же функцию f (v) выбора ставки в зависимости от ценности, как и мы. Мы побеждаем конкурента в случае, если его оптимальная ставка b2 = f (v2) не превышает нашу, равную b. С учетом монотонности функции f (v) это будут участники с оценкой ниже, чем v = f –1 (b). Доля таких конкурентов для равномерного распределения ценности на отрезке [0; 1] в точности совпадает со значением f –1 (b). Например, вероятность того, что оценка конкурента окажется не выше 0,4, составляет 40 %. Таким образом, функция выигрыша примет вид V = (v – b) f –1 (b).
Для каждого значения v необходимо максимизировать данную функцию по ставке b ∈ [0; 1]. В результате решения этой параметрической задачи и будет сконструирована функция f (v) нашего наилучшего ответа при ценности v. Чтобы отыскать точку максимума функции выигрыша, то есть решить задачу:
V = (v – b) f –1(b) → max,
необходимо вычислить ее производную. Учитывая, что производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции в соответствующей точке, мы имеем:
– f –1(b) + (v – b) / f '(f –1(b)) = 0,
откуда путем несложных преобразований выразим:
v – b = f –1(b) f ' (f –1(b)).
А теперь самый главный момент. Если f (v) – равновесная стратегия поведения, то для произвольной ценности v решением этого уравнения должно служить в точности значение ставки b = f (v), которое мы и подставим в уравнение. Получим следующее:
v – f (v) = f –1 (f (v)) f ' (f –1(f (v)).
Поскольку обратная функция применяется вслед за прямой, то многое сократится:
Заметим, что слева и справа здесь угадываются полные дифференциалы:
Это означает, что f (v) v = v 2 / 2 + C, а поскольку в соответствии с наложенным ранее условием f (0) = 0, константа C также равняется нулю. Значит, ответ будет иметь вид f (v) = v / 2.
Итак, оптимальная стратегия поведения в аукционе первой цены с двумя участниками в случае равномерно распределенных на отрезке [0; 1] ценностей – называть половину собственной оценки.
3.1.5. Аукцион первой цены: обобщения
В предыдущем параграфе мы нашли оптимальную стратегию поведения в закрытом аукционе первой цены с двумя участниками и равномерным на отрезке [0; 1] распределением ценностей. Однако оба этих предположения не очень реалистичны. Поэтому попробуем от них отказаться. И первое возможное обобщение – поиск оптимальной стратегии для аукциона с произвольным числом участников, которое равно n.
Большая часть рассуждений останется неизменной. Отличие заключается в том, что для победы теперь нужно, чтобы не только одна, но все ставки (n – 1) конкурента были ниже нашей. Учитывая то, что вероятность такого события для одного конкурента равна f –1(b), найдем итоговую вероятность (f –1(b))n–1 и итоговый ожидаемый выигрыш (v – b) (f –1(b))n–1, который и максимизируем по b, снова принимая во внимание, что b = f (v):
– (f –1 (b))n–1 + (v – b) (n – 1) (f –1 (b))n–2/f ' (f –1 (b)) = 0,
(v – b) (n – 1) = f –1 (b) f ' (f –1 (b)),
v (n – 1) = f (v) (n – 1) + v f ' (v).
Домножим обе части данного равенства на v n–2 и снова увидим слева и справа полные дифференциалы:
v n–1 (n – 1) = f (v) (n – 1) v n–2 + f ' (v) v n–1,
f (v) v n–1 = v n (n – 1) / n + C.
При С = 0 получаем функцию оптимальной ставки f (v) = v (n – 1) /n. То есть если число участников аукциона в приведенной задаче увеличивается с двух до пяти, то ставка игрока с оценкой 600 тысяч рублей поднимется с 300 до 480, в случае десяти участников – до 540, а в случае 100 участников – до 594 тысяч рублей.
Второе обобщение более серьезное – мы откажемся от нереалистичного предположения о равномерном распределении ценностей на отрезке и рассмотрим произвольный случай. Итак, пусть распределение ценностей участников аукциона задано функцией F(v). Данная функция показывает вероятность того, что ценность объекта не превышает сумму v. Для того чтобы победить на аукционе, нужно, чтобы ставки всех участников не превосходили нашу, а ценности для всех участников, исходя из симметричности равновесия и монотонности f (v), были не больше, чем для нас. Таким образом, вероятность победы будет равна G (f –1(b)) ≡ F n–1 (f –1(b)), а максимизируемая функция ожидаемого выигрыша примет вид (v – b) G (f –1(b)). Продифференцируем ее по ставке b, снова принимая в расчет, что v = f –1(b):
Решив полученное дифференциальное уравнение, найдем равновесную функцию ставки для общего случая аукциона первой цены:
