Но, даже если отвлечься от затрат бумаги, необходимой для того, чтобы напечатать миллионы ненужных (хотя и верных) теорем, дойти до вершины все равно не удалось бы. Появившаяся в 1931 г. работа Геделя, произведя эффект разорвавшейся интеллектуальной бомбы, заставила фон Неймана прервать курс лекций в Геттингене, а Гильберта прекратить работу над своей программой. Гедель утверждал, что состоятельность и полноту какой-либо логической системы можно установить, погружая исходную систему в систему более развернутую. Правда, Гедель показал, что при этом проблема состоятельности и полноты становится более сложной из-за усложнения логического языка, что приводит к спирали усложнений, к нескончаемой логической эскалации. Именно это и происходит также, когда человеческий разум занят своим привычным делом – размышлением.
Машина, работа которой основана на аксиомах Пеано, окажется неспособной ответить на вполне определенную последовательность вопросов. Но каковы эти вопросы, Гедель не сообщает, Во всяком случае, можно предположить, что неразрешимой в геделевском смысле является следующая головоломка. Построим последовательность целых чисел, начинающуюся с любого целого числа, причем каждое последующее число должно быть равно половине предыдущего, если оно четное, или предыдущему, умноженному на три и сложенному затем с единицей, если это предыдущее число нечетное. Повторяя процедуру вычисления последующих чисел, мы в конце концов построим всю последовательность. Если начать с цифры 5, то мы получим следующую последовательность: 5, 16, 8, 4, 2, 1. Итак, мы пришли к единице. Оказывается, что независимо от числа, с которого начинается последовательность, мы всегда приходим к единице, хотя доказательства этого факта не существует. Возможно, это связано с нашей неспособностью найти его, но может быть, указывает на недостатки, присущие фундаментальным основам арифметики.
Результат, полученный Геделем, выходит за пределы узких рамок арифметики, оказывая влияние также на кибернетику. Немного времени спустя после открытия Геделя математик Тьюринг заметил, что все вычислительные машины могут быть заменены всего одним простейшим и даже очень медленным калькулятором, так как, если не ограничивать используемую память, такой калькулятор воспринимает программы произвольной длины и сложности. в принципе можно составить бесчисленное множество таких программ, но, к счастью, их можно объединить и хранить вместе и составить полный их перечень. Не все программы будут полезны, а из-за некоторых машина может даже входить в режим непрерывно и безостановочно повторяющихся вычислений. Если же все работает нормально, то в соответствии с приказами в программе машина в ответ на введенное в нее число печатает другое, т.е. производит вычисления: например, может напечатать квадрат какого-нибудь числа, удвоить его или вывести число, следующее за числом, введенным первоначально. в общем случае машина может вычислять невероятно сложные функции введенного в нее исходного числа.
По определению функции, вычисляемые «машиной Тьюринга», являются «вычислимыми», поэтому инструкции по их вычислению могут быть переданы разным машинам без опасения, что возникнут ошибки или неясности. Вместе с тем существуют функции, не поддающиеся вычислению, более того, они составляют подавляющее большинство, хотя трудно дать определение такой функции. Как ни странно, но пример невычислимой функции следует прямо из теории «машины Тьюринга». Присвоим значение «единица» целому числу, соответствующему нормально работающей машине; «нуль», напротив, будет соответствовать машине, вошедшей в режим безостановочных повторных вычислений. Таким образом мы задали невычислимую функцию, и доказательство этого повторяет доказательство, данное Геделем для логических систем. Зная эту функцию, мы можем сказать заранее, не прибегая к запуску в работу самой программы, остановится ли соответствующая машина или будет работать вхолостую.
Это не абстрактный вопрос: было бы очень удобно знать заранее, работает ли программа или нет, прежде чем запускать ее в машину. Результат Тьюринга подтвердил то, что уже чувствовали интуитивно пользователи машин, а именно, что нет способа определить с уверенностью, работает ли программа, кроме как испытать ее на практике.
Всегда ли остается неизвестной функция, не поддающаяся вычислению? Ответ Геделя прост: даже если вычислены первые сто или тысяча значений этой функции, мы все равно ничего не узнаем о том, как вычислить последующее значение, так что требуются человеческий разум и творческие усилия, чтобы выйти из жестких рамок программирования для вычислительной машины. Снова и снова мы убеждаемся в том, что вычислительная машина удивительно прилежна и вместе с тем столь же глупа: она выполняет вычисления, не думая, только по предварительно составленной подробной инструкции. Конечно, может оказаться, что когда-нибудь будут созданы новые, более умные роботы, подобные описанным в книгах Айзека Азимова.
Тем, кто упрекал Геделя в разрушении целостности фундамента математики, ученый всегда отвечал, что, по существу, основы остались столь же незыблемыми, как и прежде, а его теорема просто привела к переоценке роли интуиции и личной инициативы в одной из областей науки, в той, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для указанных достоинств. Несмотря на уверения идеалистов, математика оказалась настоящим искусством, и достойный преклонения пример творческого служения этому искусству дал сам Гедель в своих холодных, написанных только по существу дела работах.
Глава 5. Невероятная история: открытие вечного движения
В занимательной книге Артура Орд-Хьюма «Вечное движение» рассказывается об истории идеи вечного движения и о том, как в течение столетий целые толпы непризнанных изобретателей были одержимы мыслями о постройке вечного двигателя. Бессмысленно в этих случаях апеллировать к закону сохранения энергии: великие «запреты» физики никогда не вызывали симпатии. Также бессмысленно, например, говорить людям, играющим в лотерею, что они обязательно должны проигрывать (в среднем), чтобы организация лотерей приносила государству доход. Все равно мы будем встречать изобретателей, уверенных в близости окончательного решения, и рассерженных игроков, убежденных в том, что сумеют выиграть, используя самый последний вариант некоей «математической» системы. Я сам встречал трех «вечных» фантазеров, с другими общались знакомые мне журналисты. Как правило, речь идет о механизмах, использующих те или иные виды эксцентриков. Орфиреус, настоящее имя которого было Иоганн Эрнст Элиас Бесслер (1680...1745), даже построил такой «вечный» двигатель, с одинаковой легкостью вводивший в заблуждение королей, обывателей и профессоров, среди которых, в частности, был профессор Гравезанд из Лейдена, в хвалебных тонах написавший о двигателе Ньютону. Однако и машина Орфиреуса была разрушена.
В книге Орда-Хьюма перед нами проходит забавная галерея мошенников и изобличенных изобретателей, погубленных своей одержимостью.
Вечным движением первого рода называется такой процесс, в котором нарушается закон сохранения энергии. Иными словами, за счет такого движения можно получить что-то из ничего. Менее известным представляется вечное движение второго рода, нарушающее второе начало термодинамики. Это так же невозможно, как и нарушение закона сохранения энергии, хотя здесь теория труднее для понимания.
Вечное движение второго рода было бы возможным, если бы все тепло в металлическом стержне могло внезапно перейти в один раскалившийся при этом конец, оставив другой совсем холодным. в этом случае в середину стержня можно было бы поместить тепловую машину (паровую турбину). Аналогичным образом можно было бы извлекать огромное количество энергии, содержащееся в морях, всякий раз, когда в воде спонтанно создавалась бы разность температур. Мы действительно думаем, как использовать разность температур между теплой водой в приповерхностном слое и холодной водой глубин для создания больших электростанций. Однако никоим образом нельзя преодолеть термодинамические ограничения, накладываемые на коэффициент полезного действия, который становится равным нулю, когда температура повсюду выравнивается. Напротив, возможность движения второго рода означала бы, что можно извлекать всю энергию из морей или из других резервуаров независимо от распределения температуры в жидкости.
Эти претензии производят менее тягостное впечатление, чем непосредственное производство энергии из ничего, но они столь же неприемлемы. Теплота представляет собой беспорядочную энергию хаотического движения атомов. Для практических же применений требуется упорядоченная энергия, создаваемая атомами колеса или поршня, перемещающимися в одном направлении, или, во всяком случае, если движения этих атомов взаимосвязаны. Невозможно представить, чтобы энергия беспорядочного движения могла бы вдруг превратиться в энергию упорядоченного механического движения: энтропия, т.е. беспорядок, всегда растет. Это неоспоримый экспериментальный факт, получивший теоретическое обоснование в виде так называемой «Н-теоремы» Больцмана, от изложения которой мы избавим читателя.
