Вопрос о полноте той или иной системы аксиом представляет, как правило, большой интерес. В самом деле, основным стимулом для аксиоматизации различных разделов математики бывает стремление найти подходящий перечень исходных допущений, из которых затем можно было бы вывести все истинные предложения данной области. Скажем, когда Евклид формулировал некоторую аксиоматизацию элементарной геометрии, он старался отобрать аксиомы таким образом, чтобы из них можно было вывести все истинные геометрические утверждения, не только уже известные в то время, но в принципе и любые другие, которые можно было бы научиться доказывать когда-либо в будущем.
Помимо прочего, Евклид обнаружил поразительную проницательность своей трактовкой знаменитой аксиомы параллельности как допущения, логически не зависящего от остальных аксиом предложенной им системы. Лишь спустя много времени удалось доказать, что эта аксиома действительно не может быть выведена из остальных аксиом Евклида, т. е. что без аксиомы параллельности эта система аксиом неполна.
До недавнего времени считалось более или менее само собой разумеющимся, что для каждой конкретной области математики можно подобрать полную систему аксиом. В частности, математики были убеждены, что система аксиом, предложенная для аксиоматизации арифметики натуральных чисел, полна или во всяком случае может быть пополнена (сделана полной) добавлением к исходному перечню еще конечного списка аксиом. Одним из величайших открытий Гёделя и было как раз обнаружение невозможности такой полной аксиоматизации арифметики.
6
Идея кодирования и ее использование в математике
Исчисление высказываний представляет собой пример математической системы, по отношению к которой задачи, выдвигаемые гильбертовской теорией доказательства, оказались, как мы видели, полностью реализованными. Конечно, это исчисление формализует лишь некоторый фрагмент формальной логики, язык и дедуктивный аппарат которого недостаточны даже для формального построения элементарной арифметики. Но возможности гильбертовской программы отнюдь не ограничиваются доказательством непротиворечивости исчисления высказываний. Можно привести примеры гораздо более богатых теорий, для которых оказалось возможным дать строго метаматематические доказательства непротиворечивости и полноты. Примером может служить арифметическая система с операцией сложения (но без операции умножения) натуральных чисел, для которой также можно провести абсолютное доказательство непротиворечивости. Но достаточно ли сильны финитные методы Гильберта для установления непротиворечивости систем вроде Principia — систем, выразительные и логические средства которых позволяют построить всю арифметику, а не только отдельные ее фрагменты? Неоднократные попытки найти такое доказательство успехом не увенчались, а работа Гёделя 1931 г. показала, что они и не могли быть успешными, так как, строго придерживаясь границ, предначертанных в исходной формулировке гильбертовской программы, эту задачу вообще решить нельзя.
Что же, собственно, доказал Гёдель и как именно доказал? В работе Гёделя имеются два основных результата. Прежде всего (мы здесь не имеем в виду тот порядок, в каком эти результаты излагаются в самой работе Гёделя) он доказывает невозможность метаматематического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, которое (доказательство) не использовало бы каких-либо существенно иных правил вывода, кроме тех, что используются для вывода теорем в самой рассматриваемой системе. Конечно, и такое (пользующееся более сильными в некотором смысле правилами вывода) доказательство может быть очень важным и полезным. Но все же если доказательство строится на основе правил вывода, значительно более мощных, нежели логические средства арифметического исчисления, так что уверенность в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений будет ничуть не больше, чем расчеты на непротиворечивость арифметики, то ценность такого доказательства будет довольно-таки специфической: мы убьем одно чудовище ценой рождения другого. Во всяком случае, если это доказательство будет не финитистским, то основной пункт гильбертовской программы останется, конечно, невыполненным. Гёделевское рассуждение как раз и показывает всю беспочвенность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.
Второй основной результат работы Гёделя, пожалуй, еще более неожидан и поразителен; он указывает на некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Гёдель показывает, что система Principia Mathematica, как и всякая иная система, средствами которой можно построить арифметику, — существенно неполна. Это значит, что для любой данной непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, не выводимые из аксиом этой системы.
Это обстоятельство играет решающую роль для оценки всей работы Гёделя, и на нем стоит остановиться несколько подробнее. Математикам хорошо известны примеры общих утверждений, для которых до сих пор не найдено никакого опровергающего примера, но не найдено и доказательства. Классическим примером такого рода может служить знаменитая «теорема Гольдбаха», утверждающая, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Мы не можем указать ни одного четного числа, которое не являлось бы суммой двух простых, но у нас нет и доказательства гипотезы Гольдбаха, пригодного для всех четных чисел. Таким образом, перед нами — арифметическое утверждение, которое вполне может быть истинным, но не выводимым из аксиом арифметики. Допустим, что это действительно так (утверждать подобное мы, разумеется, не можем). Представим себе, что мы изменили или пополнили исходную аксиоматику таким образом, чтобы все истинные, но не выводимые в исходной системе предложения (к их числу относится, по сделанному только что предположению, гипотеза Гольдбаха) станут в расширенной системе выводимыми[9]. Теорема Гёделя показывает, что никакое такое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, т. е. что даже если пополнить ее бесконечным множеством аксиом, все равно в новой системе найдутся истинные, но не выводимые (хотя и выразимые!) ее средствами предложения.
Истинность таких предложений, как мы ниже увидим, можно установить посредством некоторого метаматематического рассуждения об арифметической системе. Но такое рассуждение не удовлетворяет требованию, согласно которому исчисление должно быть, так сказать, «замкнутой системой», т. е. все доказуемые в нем истинные предложения должны быть получены как формальные следствия из аксиом внутри самого исчисления. Таким образом, аксиоматический метод как средство построения всей содержательной арифметики оказывается принципиально ограниченным.
Чтобы читателю было легче понять идею доказательства Гёделя, мы (следуя Гёделю) приведем вначале схему рассуждения, посредством которого получается логическая антиномия (противоречие), известная под названием «парадокса Ришара» (по имени описавшего ее в 1905 г. французского математика).
Возьмем какой-нибудь язык (например, русский)[10], средствами которого можно описывать и определять все чисто арифметические свойства чисел. Рассмотрим определения, которые можно сформулировать на этом языке. Ясно, что некоторые термины, относящиеся к арифметическим свойствам, нам определить явным образом все равно не удастся (с чего-то надо начать и в определениях во избежание ситуаций, известных под названиями «порочного круга» и «бесконечного спуска»), хотя, конечно, мы можем в принципе понимать смысл этих слов и без определений. Для нашей цели несущественно, какие именно термины принять в качестве исходных, неопределяемых; мы можем, например, считать, что мы понимаем смысл предложений «целое число делится на другое целое число», «целое число является произведением двух целых чисел» и т. п. Свойство быть простым числом тогда можно определить следующим образом: «не делиться ни на одно целое число, кроме самого себя и числа 1»; свойство быть точным квадратом: «быть произведением некоторого целого числа на то же число» и т. п.
Легко видеть, что каждое такое определение состоит лишь из конечного числа слов, а потому и из конечного числа букв алфавита. Поэтому мы можем ввести для таких словесных определений отношение порядка, считая одно определение предшествующим другому, если число букв, из которых состоит первое определение, меньше числа букв, составляющих второе определение; в тех же случаях, когда два определения состоят из одного и того же числа букв[11], одно из них считать предшествующим другому в обычном лексикографическом (алфавитном, словарном) порядке. Исходя из такого упорядочения можно теперь расположить все определения рассматриваемого вида в последовательность, сопоставив каждому из них единственное натуральное число — номер в этой же последовательности. Тогда самое короткое (и стоящее ранее других в алфавитном порядке) определение получит номер 1, следующее за ним в этом «словаре определений» — номер 2 и т. д.
