В формуле Декарта 1640 года и формуле Эйлера 1752 года фигурируют только грани, ребра и вершины, поэтому эти формулы применимы к множеству различных фигур и по-прежнему выполняются даже после определенных преобразований.
Эти формулы дали начало новому разделу математики — топологии, которая бурно развивалась в XIX веке. Август Фердинанд Мёбиус, Бернхард Риман, Анри Пуанкаре, Ян Брауэр, Соломон Лефшец и многие другие математики, которые работали в различных областях, нашли в этой «новой геометрии» фундаментальную основу для изучения кривых, поверхностей, пространств, функций. Топология помогла определить свойства, которые нельзя было формализовать в рамках традиционной геометрии.
Август Фердинанд Мёбиус — один из математиков XIX века, интересовавшихся топологией.
Если говорить кратко, то топология свободна от жестких структур евклидовой и проективной геометрии. С помощью «непрерывных преобразований» стало возможным моделировать новые фигуры и определять новые категории преобразований. Представим себе треугольник, нарисованный на поверхности шара. При сжатии шара (таком, что шар не ломается) треугольник будет принимать различную форму. Будут изменяться углы и длины сторон, но «сущность» треугольника будет оставаться неизменной: это по-прежнему будет фигура, определяемая тремя точками и тремя отрезками, соединяющими эти точки. Чтобы начать мыслить с топологической точки зрения, нужно представить, что все фигуры сделаны из резины и могут деформироваться. Так, деформацией сферы невозможно получить бублик, но зато бублик будет эквивалентен… чайной чашке.
Удивительная формула
ЭйлераРассмотрим выпуклый п-угольник с вершинами V, V2,..., Vn и ребрами V1V2,..., V2V3,...,Vn-1Vn, VnV1.
Вне зависимости от длин сторон, величин углов, кривизны ребер и прочих параметров, число ребер будет всегда равно числу вершин многоугольника. Это соотношение столь тривиально, что на него можно даже не обратить внимание. Если сохранить число вершин неизменным и заменить одно из прямых ребер любой простой кривой, это соотношение не изменится.
Перейдем в трехмерное пространство и рассмотрим произвольный выпуклый многогранник, который имеет V вершин, А ребер и С граней. Если посмотреть на этот многогранник изнутри и спроецировать его на большую сферу, внутри которой он находится, то на эту сферу окажутся нанесены линии и соответствующие вершины так, что значения V, А и С останутся неизменными.
Многограннику также можно поставить в соответствие плоский граф, который будет иметь то же число ребер А, то же число вершин V и то же число граней С.
Можно заметить, что при С = 2 получится единственный многоугольник и V = А, либо, что аналогично, С + V = А + 2. Если при С — n число вершин равно V, число ребер — Аn, и мы предположим (по индукции), что n + Vn = Аn + 2, то при С = n + 1 нужно заострить внимание на грани под номером n + 1. Когда число граней станет равным n + 1, к графу с n гранями, Vn вершинами и Аn ребрами добавится некоторое число вершин К и К + 1 ребро. Следовательно,
C + Vn+1 = n + 1 + Vn + K = (n + Vn) + (K + 1) = (An + 2) + (K + 1) = (An + K + 1) + 2 = An+1 + 2.
Так доказывается знаменитая формула Эйлера, которая звучит следующим образом: в любом выпуклом многограннике выполняется соотношение
С + V = A + 2.
Этот результат может показаться тривиальным, но если немного подумать, то мы увидим, что это соотношение поистине удивительно: оно выполняется для любого выпуклого многогранника независимо от формы его граней, углов на гранях и углов между гранями, от длин ребер и других параметров. Формула, которая выполняется для бесконечно большого числа разнообразных фигур, не может не привлекать внимание. Здесь что-то не так. Практически не существует формул, которые справедливы для столь непохожих фигур.
* * *
РАЗУМЕЕТСЯ, А = С + V — 2. МОЖНО ЛИ ВЫБРАТЬ С И V ПРОИЗВОЛЬНО?
В выпуклом многограннике С + V = А + 2, следовательно,
А = C + V — 2. (1)
Какие значения могут принимать С и V? Существуют ли какие-то ограничения? Может ли быть так, что С = 1000, а V = 2? Рассмотрим, каковы же ограничения на С и V.
Очевидно, что V > 4, так как многогранника, у которого меньше четырех вершин, не существует. В каждой вершине сходятся минимум три ребра, следовательно, 3V =< 2А, так как каждое ребро связывает две вершины. Следовательно, 3V =< 2С + 2V — 4, откуда следует
4 =< V =< 2С — 4. (2)
Также С > 4, так как чтобы ограничить часть пространства, требуется минимум четыре грани. Каждая грань должна иметь минимум три ребра, то есть 3С =< 2А = 2С + 2V — 4, откуда
4 =< С =< 2V — 4. (3)
Отношения (1), (2) и (3) соответствуют выпуклым многогранникам в пространстве. Простейшие примеры многогранников, у которых число граней С >= 4, — это пирамиды и бипирамиды. Многоугольник, число ребер которого равно 2К, и точка вне его образуют пирамиду, где С = 2К + 1. Для бипирамиды, которая получается, если совместить две такие пирамиды основаниями, С = 4К.
* * *
С помощью формулы Эйлера для выпуклых многогранников можно вычислить так называемую характеристику Эйлера — Пуанкаре:
Для сферы = 2. Если мы рассмотрим тор (поверхность вращения, получаемая вращением окружности вокруг оси, лежащей вне этой окружности), то получим = 0. Следовательно, в тороидальных многогранниках 0 = С + V — А. Родом поверхности
называется число отверстий в ней. Для сферы g = 0, следовательно, в тороидальных многогранниках g = 1. Итак, и g являются характеристиками поверхности, то есть число 2 в формуле С + V = А + 2 указывает на сферическую природу выпуклых многогранников. Для невыпуклых многогранников формула Эйлера не выполняется. В следующих разделах, где рассматриваются только выпуклые многогранники, мы подробно расскажем о следствиях формулы С + V = А + 2.
Формула
Эйлера для граней и вершин
Теперь мы знаем ограничения на число граней С и число вершин V выпуклого многогранника. Число ребер А полностью зависит от С и V. Попробуем исключить А из формулы Эйлера.
Чтобы полностью исключить А, нужно «более явно» выразить формулу Эйлера через С и V, уточнив, что скрывается за этими числами.
В выпуклом многограннике Р с числом граней С и числом вершин V обозначим за Сn число граней, имеющих n ребер, Vn — число вершин, в которых сходятся n ребер. Можно записать следующую сумму ряда (конечного!):
С = С3 + С4 + С5 + С6 + … (1)
Также
V = V3 + V4 + V5 + V6 + … (2)
Так как одно ребро принадлежит двум граням одновременно, то
3С3 + 4С4 + 5С5 + 6С6 + … = 2A. (3)
Так как каждое ребро соединяет две вершины, получим
3V3 + 4V4 + 5V3 + 6V6 + … = 2A. (4)
Используя формулу Эйлера, где обе части умножены на 2, то есть 2С + 2V = 4 + 2A, учитывая (1), (2) и (3), получим:
2С3 + 2С4 + 2С5 + 2С6 + … + 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + 3С3 + 4C4 + 5C5 + 6C6 + …
