На этом мы могли бы остановиться, но подобная структура не содержит достаточно ограничений, чтобы гарантировать наличие некоторых интересных свойств.
Если мы рассмотрим множество всего из трех букв, к примеру С = {х, y, z}, то найдется 19 683 разных способа определить на этом множестве операцию, которая сопоставит любым двум элементам третий. Это слишком много! Необходимо, чтобы операция * обладала некоторыми свойствами. Вернемся к примеру с преобразованиями треугольника. Напомню, что композиция любого преобразования с тождественным преобразованием I оставляла исходное преобразование неизменным.
52
Аналогично, нам нужен нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а будут верными для любого элемента а множества G. С учетом нейтрального элемента в примере с множеством {х, у, z} число возможных операций сократится до 81 — почувствуйте разницу! Крайне важную роль в расчетах сыграла возможность располагать скобки в произвольном порядке, поэтому мы введем новое требование: при операции над любыми тремя элементами результаты (а * b) * с и а * (b * с) должны быть равны. Это свойство называется ассоциативностью.
Можно было бы сказать, что группа — это множество с определенной на нем ассоциативной операцией, содержащее нейтральный элемент.
Между прочим, такая структура действительно существует и называется моноидом. Приведенное определение могло бы стать определением группы, но преобразования треугольника обладают еще одним свойством, которое будет интересно обобщить. Это свойство обратимости, согласно которому для любого преобразования всегда найдется другое, которое вернет треугольник в исходное положение. Допустим, мы применили поворот R. Если теперь мы применим R2, получим R2R = R3 = I. Таким образом, преобразование R2 обратно преобразованию R. В других случаях движение может быть обратно самому себе, как, например, симметрии S, RS и SR. Существование обратной операции означает, что для любого элемента а множества G всегда найдется другой элемент b такой, что а * b и b * а будут равны нейтральному элементу.
Часто вместо b записывают а-1. Так определяется группа. Чуть позже мы покажем, что определить группу на множестве {х, у, z) можно единственным способом.
Определение.
Группа — это множество G с определенной на нем операцией *, которая ставит в соответствие любым двум элементам множества G, а и b, третий элемент множества G, а * b такой, что выполняются следующие условия.
1. Операция * является ассоциативной, то есть равенство
(а * b) * с = а * (b * с)
верно для любых а, b и с множества G.
2. На множестве G существует нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а выполняются для любого элемента а на множестве G.
3. Для любого элемента а множества G можно найти элемент b множества G, который удовлетворяет соотношению a*b = b*a = e.
53
Первая групповая операция, которая приходит в голову, — сложение натуральных чисел. Эта операция обладает свойством ассоциативности, а 0 — ее нейтральный элемент. Но чтобы определить группу, необходимо, чтобы для каждого элемента существовал обратный элемент. Для этого добавим к группе отрицательные числа:
—1 будет обратным элементом для 1, так как 1 + (—1) = (—1) + 1 = 0, аналогично —2 будет обратным элементом для 2 и так далее.
Мы получили группу целых чисел, которая обозначается буквой ℤ и содержит бесконечно много элементов. Если мы рассмотрим не сложение, а вычитание, то не сможем определить группу: как мы уже показали, вычитание не обладает свойством ассоциативности.
ЛЕВИ-СТРОСС: Вернемся к определению группы. Верно ли, что для любых двух ее элементов а и b а*b и b*а будут совпадать?
ВЕЙЛЬ: Необязательно. Именно поэтому в свойствах 2) и 3) мы записали оба этих равенства. Указать, что а * е должно равняться е, недостаточно, так как е * а совершенно необязательно будет равняться а * е. Если мы укажем, что для двух любых элементов группы выполняется условие a*b = b*a, то исключим из рассмотрения несколько очень интересных примеров. Вы уже видели, что если поменять местами R и S, результат операции изменится. Таким образом, преобразования треугольника не удовлетворяют приведенному выше определению группы. Разумеется, тот факт, что а*b и b*а в общем случае не совпадают, вовсе не означает, что не могут существовать такие а и b, что будет выполняться равенство а * b = b * а.
Если это равенство выполняется всегда, то говорят, что операция обладает коммутативностью. Если групповая операция является коммутативной, то группа называется коммутативной, или абелевой.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но почему абелева?
ВЕЙЛЬ: Группы называются абелевыми в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802—1829), который с помощью теории групп, только-только зарождавшейся в то время, показал, что почти никакое уравнение пятой степени нельзя решить элементарными методами.
Название «абелева группа» ввел Камиль Жордан в своем «Трактате о подстановках и алгебраических уравнениях», изданном в 1870 году. Жордану пришла в голову прекрасная идея — сделать из имени собственного прилагательное, которое можно использовать как полноценное определение.
Похожие названия ввели члены группы Бурбаки: мы говорили не о геометрии Римана или кольце Артина, а о римановой геометрии и артиновом кольце. Когда явное указание на имя автора исчезало, открывались новые смыслы.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но разве не Эварист Галуа придумал группы? Кто-то рассказал мне о том, что произошло с Галуа в ночь перед дуэлью.
54
ВЕЙЛЬ: До чего же всем нравится эта история! Я не раз слышал, что Галуа, которому было суждено умереть на следующий день, в порыве вдохновения создал всю свою теорию всего за одну ночь. Галуа первым использовал понятие «группа» в ряде статей, которые можно назвать одними из прекраснейших в истории человечества. Сложно сказать, насколько велико на самом деле было влияние Галуа. Впрочем, группы, которые он изучал, отличались от тех, что рассматриваем мы. Галуа интересовали группы перестановок. Перестановкой на множестве из n элементов называется способ упорядочения элементов множества. На множестве перестановок можно определить групповую операцию. Допустим, мы выбрали перестановки
на множестве из пяти элементов {1, 2, 3, 4, 5}. Так мы указываем, что после перестановки σ1 множество примет вид {2, 5, 3, 1, 4}, после перестановки σ2 — {3, 4, 5, 1, 2}. Как видите, под каждым элементом исходного множества записан элемент, который приходит ему на смену после перестановки. Чтобы определить группу перестановок, необходимо описать композицию перестановок. Сейчас я покажу, как это можно сделать. Чтобы определить, чему равен результат σ1 * σ2, сначала посмотрим, какое число записано под элементом 1 в перестановке σ2. Это число 3. Затем посмотрим, какому числу соответствует 3 в перестановке σ1. Это вновь будет 3.
Тогда в композиции σ1 * σ2 числу 1 ставится в соответствие 3. Теперь посмотрим, что произойдет с числом 2: при перестановке σ2 ему на смену придет 4, при перестановке σ1 4 соответствует 1, следовательно, в композиции перестановок σ1 * σ2 числу 2 ставится в соответствие число 1. Продолжив рассуждения, получим
Эта композиция перестановок полностью удовлетворяет всем условиям, приведенным в определении группы. Таким образом, мы получили симметрическую группу Sn, где n — число элементов множества, к которому применяется перестановка.
ЛЕВИ-СТРОСС: А где используются эти группы?
ВЕЙЛЬ: Повсеместно! Между прочим, существует теорема, согласно которой любая конечная группа содержится в некоторой симметрической группе — достаточно верно выбрать число элементов группы. Более того, мы, сами того не осознавая,
55
уже работали с симметрической группой. Помните, как мы различали преобразования треугольника? Мы пронумеровали его вершины и рассмотрели, как они меняются местами при различных движениях. Получается, что преобразование треугольника — не более чем перестановка чисел 1, 2 и 3. К примеру, после поворота R первая вершина будет находиться там, где раньше располагалась вторая, следовательно, при этой перестановке 1 ставится в соответствие 2. Аналогично, вершины 2 и 3 будут находиться там, где раньше располагались 3 и 1 соответственно, таким образом, при этой перестановке 3 соответствует 2, 1—3. Следовательно, поворот R описывается той же информацией, что и
Повторим рассуждения для каждого преобразования и получим следующую таблицу соответствий.
Обратите внимание, что если мы составим композицию перестановок
которые, как мы только что показали, обозначают R и S соответственно, то получим следующую перестановку:
которая соответствует RS. Перестановки и преобразования треугольника в точности соответствуют друг другу! С точки зрения структуры группа преобразований, оставляющих треугольник неизменным, идентична симметрической группе S3 Говорят, что эти две группы изоморфны.
