2 a + 2 b = 2 c
Он тут же понял, что это уравнение имеет бесконечное множество решений a, b и с, и записал на полях следующий замечательный комментарий.
Уравнение
n a + n b = n c
имеет решение в положительных целых числах а, b, с, и n только при n = 2 (и в таком случае имеется бесконечное множество а, b, и с, удовлетворяющих этому уравнению), но для n>2 решений не существует. Я нашел совершенно замечательное доказательство этого — к несчастью, такое крохотное, что оно будет почти невидимо, если написать его на полях.
С того года и в течение почти трехсот дней мураматики безуспешно пытаются сделать одно из двух либо доказать утверждение Фурми и таким образом очистить его репутацию — в последнее время она слегка подпорчена скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — или опровергнуть его утверждение, найдя контрпример множество четырех целых чисел а, b, с, и n, где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, Гипотеза доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000. Но никому не удавалось доказать ее для ВСЕХ n — никому, пока на сцене не появился Иогей Себастей Фермовей. Именно он нашел доказательство, очистившее репутацию Фурми. Теперь это известно под именем «Хорошо Проверенной Гипотезы Иогея Себастея Фермовея».
Рис. 63. Когда происходят перемещения колоний, муравьи иногда строят из собственных тел живые мосты. На этой фотографии (Льера Фурми) изображен подобный мост. Муравьи-работники колонии Eciton Burchelli сцепляются лапками и тарзальными челюстями; таким образом создается что-то вроде цепей. Видно, как по центру мосту переходит симбиотическая чешуйница, Trichatelura manni. (E. О. Вильсон, «Общества насекомых» (Е.О. Wilson, «The Insect Societies», стр. 62.)
Ахилл: Не лучше ли тогда называть это «Теоремой» вместо «Гипотезы,» поскольку настоящее доказательство уже найдено?
Муравьед: Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.
Черепаха: А какую музыку писал Себастей?
Муравьед: Он был очень талантливым композитором. К несчастью, его лучшее сочинение покрыто тайной, поскольку оно никогда не было опубликовано. Некоторые думают, что Себастей держал свое сочинение в голове. Но те, кто настроены менее благожелательно, говорят, что на самом деле он никогда не писал подобного сочинения, а только хвастался направо и налево.
Ахилл: И что же это было за великое сочинение?
Муравьед: Это должно было быть гигантской прелюдией и фугой; в фуге предполагалось двадцать четыре голоса и двадцать четыре различных темы, по одной в каждом мажорном и минорном ключе.
Ахилл: Было бы весьма трудно слушать такую двадцатичетырехголосную футу как целое!
Краб: Уже не говоря о том, чтобы ее сочинить!
Муравьед: Все, что нам о ней известно, это ее описание, оставленное Себастеем на полях его экземпляра «Прелюдий и фуг для органа» Букстехуде. Последними словами, которые он написал перед своей трагической кончиной, были следующие:
Я сочинил замечательную фугу. В ней я соединил силу 24 тональностей с силой 24 тем, получилась фуга с мощью в 24 голоса. К несчастью, она не помещается на полях.
Этот несостоявшийся шедевр известен под именем «Последняя Фуга Фермовея».
Ахилл: О, как это невыносимо трагично!
Черепаха: Кстати о фугах: та фуга, которую мы слушаем, скоро закончится. Ближе к концу в ее теме происходит странная вариация. (Переворачивает страницу «Хорошо темперированного клавира».) Что это у нас тут? Еще одна иллюстрация, да какая интересная! (Показывает ее Крабу.)
Рис. 64. (Рисунок автора. Русский графический вариант выполнен переводчиком.)
Краб: Что это у нас тут? О, вижу это «ХОЛИЗМИОНИЗМ», написанное большими буквами, которые сначала уменьшаются, а затем снова возрастают до того же размера. Но в этом нет никакого смысла, поскольку это не настоящее слово. Надо же, подумать только! (Передает ноты Муравьеду)
Муравьед: Что это у нас тут? О, вижу: это «РЕДУКЦХОЛИЗМ», написанное маленькими буквами, которые сначала увеличиваются, а затем снова уменьшаются до того же размера. Но в этом нет никакого смысла, поскольку это не настоящее слово. Подумать только, надо же! (Передает ноты Ахиллу.)
Ахилл: Я знаю, что никто из вас в это не поверит, но на деле эта картинка состоит из слова «ХОЛИЗМ», написанного дважды, причем буквы в нем уменьшаются слева направо.
Черепаха: Я знаю, что никто из вас в это не поверит, но на деле эта картинка состоит из слова «РЕДУКЦИОНИЗМ», написанного один раз, причем буквы в нем увеличиваются слева направо.
Aхилл: Наконец-то! На этот раз я услышал новую вариацию темы! Я так рад, что вы мне на нее указали, г-жа Черепаха. Мне кажется, что я наконец начинаю понимать кое-что в искусстве слушания фуг.
Новый взгляд на мысль
С ПОЯВЛЕНИЕМ компьютеров люди начали работать над созданием «думающих машин», при этом они стали свидетелями престранных вариаций на тему мысли. Были созданы программы, чье мышление так же походило на человеческое, как движение заводной куклы — на движение человека. Все странности нашего мышления, его слабые и сильные стороны, причуды и изменчивость вышли на поверхность, когда мы получили возможность экспериментировать с самодельными формами мышления — или приближений к мышлению. В результате в течение последних двадцати лет мы развили новый взгляд на то, чем является и чем не является мысль. За это время выяснилось много нового о малом и о большом масштабах «аппаратуры» нашего мозга. Эти исследования пока не смогли ответить на вопрос о том, как мозг работает с идеями, но они, тем не менее, дают нам некоторое представление о биологических механизмах, управляющих нашим мышлением.
В следующих двух главах мы попытаемся соединить наши знания об искусственном интеллекте с некоторыми фактами, которые нам удалось узнать благодаря хитроумным экспериментам с мозгом животных и исследованиям процессов мышления, проведенных специалистами в области психологии. Мы начали разговор об этом в «Прелюдии» и в «Муравьиной фуге»; теперь поговорим о том же на более глубоком уровне.
Интенсиональность и экстенсиональность
Мысль должна зависеть от отражения действительности аппаратурой мозга. В предыдущих главах мы разработали формальные системы, отражающие области математической действительности с помощью символов. До какой степени подобные формальные системы могут служить моделями обращения мозга с идеями?
В системе pr и затем в других, более сложных системах мы видели, как значение, в ограниченном смысле этого слова, возникает из изоморфизма, соотносящего типографские символы с числами, арифметическими действиями и отношениями, а строчки типографских символов — с высказываниями. В мозгу нет никаких типографских символов, но есть кое-что получше: активные элементы, которые могут хранить информацию, а также передавать ее и получать новую информацию от других активных элементов. Таким образом, у нас есть активные символы вместо пассивных типографских символов. В мозгу правила смешаны с самими символами, в то время как на бумаге символы — это статичные единицы, а правила находятся у нас в голове. Благодаря строгости формальных систем, которые мы до сих пор рассматривали, читатель может заключить, что изоморфизм между символами и реальными вещами — это жесткое взаимно однозначное соответствие, что-то вроде ниток, соединяющих марионетку с ведущей ее рукой. Однако важно понимать, что это вовсе не так. В той же ТТЧ понятие «пятьдесят» может быть выражено различными символами, скажем:
((SSSSSSSO*SSSSSSSO)+(SO*SO))
и
((SSSSSO*SSSSSO)+(SSSSSO*SSSSSO))
То, что обе эти записи обозначают один и тот же номер, вовсе не ясно априори. Вы можете работать с каждым из этих выражений независимо, пока не наткнетесь на какую-нибудь теорему, которая заставит вас воскликнуть: «Да это же то самое число!»
В вашей голове могут соседствовать различные мысленные образы одного и того же человека, например:
Человек, чью книгу я послал несколько дней тому назад другу в Польшу.
Незнакомец, заговоривший со мной и моими приятелями в кафе сегодня вечером.
