* * *
Каким бы монструозным нам ни казалось число
оно является алгебраическим, так как его можно представить как решение уравнения четвертой степени с целыми коэффициентами х4 + 8х — 5 = 0. Все числа, которые не являются алгебраическими, в математике называются трансцендентными. В некотором смысле они максимально далеки от натуральных чисел, которые мы используем при счете.
Самые знаменитые математические константы — обычно трансцендентные числа. Так, трансцендентными являются число π и число е, однако это было доказано лишь в конце XIX века. Трансцендентность числа π имеет удивительное следствие: задача о квадратуре круга не имеет решения. Иными словами, с помощью циркуля и линейки нельзя построить квадрат, равный по площади данному кругу. Задача о квадратуре круга не давала покоя древнегреческим математикам, однако ее решение было найдено лишь в конце XIX столетия. Если мы сравним решение математической задачи с установлением мирового рекорда, то задача о квадратуре круга стала рекордом, который не удавалось превзойти две с половиной тысячи лет!
При поиске приближения алгебраических чисел в виде дробей нельзя найти более точное приближение, чем описанное теоремой Дирихле. Если мы рассмотрим произвольное алгебраическое число а и число k, строго большее 2 (k > 2), то, за некоторыми исключениями (число этих исключений всегда будет конечным), будет выполняться неравенство |а — р/q| > 1/qk.
Это означает, что результат Дирихле нельзя улучшить относительно степени знаменателя. Однако с единицей, «сопровождающей» знаменатель, дело обстоит иначе. В 1891 году другой немецкий математик, Адольф Гурвиц, доказал, что эту константу можно заменить меньшей: 1/√5. Так, для произвольного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |а — p/q| < 1/(√5·q2). Гурвиц также доказал, что значение 1/√5 является минимально возможным, поскольку существует еще одна математическая константа, так называемое золотое число, описывающее золотое сечение, Ф = (1 + √5)/2.
Адольф Гурвиц (1859–1919), один из величайших математиков XX столетия, внесший особый вклад в изучение алгебраических кривых и теорию чисел.
Золотое сечение — это соотношение сторон прямоугольника совершенных пропорций. Согласно древнегреческим геометрам, прямоугольник обладает совершенными пропорциями, если при отсечении от него квадрата со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, оставшийся прямоугольник будет иметь прежнее соотношение сторон. Допустим, длина короткой стороны прямоугольника равна а, длинной стороны — b. Следовательно, длины сторон нового прямоугольника будут равны b — а и а. Соотношение сторон прямоугольника будет наиболее гармоничным при b/а = а/(Ь — а). Приняв х = b/а, имеем х = 1/(х — 1), то есть х2 — х — 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен золотому числу Ф = (1 + √5)/2.
Если мы отсечем от прямоугольника золотого сечения бесконечное число квадратов и будем соединять противоположные вершины этих квадратов дугами длиной в четверть окружности, получим спираль золотого сечения, изображенную ниже.
Именно такую форму имеет раковина наутилуса, в виде этой спирали располагаются семена подсолнуха, облака в ураганах и антициклонах и звезды во многих галактиках.
Форму золотой спирали имеют раковины наутилуса, ураганы и галактики.
Золотое сечение присутствует в природе повсеместно. Оно привлекало математиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера. Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в математике. Все, что Дюрер знал о возведении городских стен и крепостей, об использовании циркуля и угольника для измерения размеров твердых тел, о пропорциях человеческого тела и о форме букв алфавита, он изложил во множестве книг, напечатанных после его смерти. Большую часть математических знаний Дюрер получил в Италии. По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году отправился в Болонью, где постигал тайную науку у неизвестного наставника. Многие считают, что этим учителем был монах-францисканец Лука Пачоли, который в 1494 году составил большую математическую энциклопедию XV столетия. До какой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева. Оцените разницу между головастым Адамом и пышнотелой Евой на гравюрах Дюрера 1504 года (сегодня они хранятся в венской галерее Альбертина) и ими же, прекрасными и стройными, на картинах 1507 года (они выставлены в мадридском музее Прадо).
Чему Дюрер научился за три года с момента создания гравюры слева до написания картины справа? Чем вызвана эта разница в пропорциях тел Адама и Евы на его картинах?
Как показал Гурвиц, золотое сечение задается иррациональным числом, которое хуже всего описывается рациональными дробями: для любого числа с > √5 справедливо неравенство |Ф — p/q| > 1/(с·q2), за исключением некоторых дробей p/q, при этом их число всегда будет конечным.
Донья Роса — Мартин Марко, Форд — Дирихле и Гурвиц
Вряд ли в романе «Улей» найдется два персонажа, которые бы внешне отличались больше, чем донья Роса и Мартин Марко. Она — полная, прожорливая, алчная и мизантропичная, он — худой, голодный, бездомный и приветливый. Эти два персонажа сталкиваются, когда донья Роса приказывает официанту вышвырнуть Мартина Марко из ее кафе за то, что тот не заплатил по счету. Хозяйка кафе указывает официанту, как нужно поступить: «На улицу выставить поаккуратней, а там — пару добрых пинков куда придется. Хорошенькое дело!» Тем не менее официант не стал наказывать Мартина Марко, поэтому ему ничего не оставалось, кроме как соврать донье Росе:
«— Всыпал ему?
— Да, сеньорита.
— Сколько?
— Два.
Хозяйка щурит глазки за стеклами пенсне, вынимает руки из карманов и гладит себя по лицу, где из-под слоя пудры пробиваются щетинки бороды.
— Куда дал?
— Куда пришлось, по ногам.
— Правильно. Чтоб запомнил. Теперь ему в другой раз не захочется воровать деньги у честных людей».
Столь же непохожими, как донья Роса и Мартин Марко, кажутся окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел, описываемые теоремами Дирихле и Гурвица. Окружности Форда точны, элегантны и гармоничны, дроби Дирихле и Гурвица — шокирующие, полные секретов. Кажется, что эти понятия отражают два очень далеких друг от друга аспекта математики.
Однако в хороших романах часто случается так, что два далеких друг от друга персонажа воплощают дополняющие друг друга противоположности, составляющие одну из граней человеческой природы. Так же часто два математических результата, на первый взгляд далекие друг от друга, оказываются выражениями одного и того же математического явления.
Таковы касательные окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел: первое есть не более чем геометрическое представление второго, как если бы хитросплетения теоремы Гурвица выкристаллизовались в четком и прозрачном изображении — в окружностях Форда.
Если читатель посмотрит на иллюстрацию на странице 50, он увидит, что это не что иное, как наглядное представление теоремы Гурвица. В самом деле, изобразим иррациональное число на числовой оси и проведем через соответствующую ему точку прямую, перпендикулярную числовой оси, как показано на следующем рисунке. Всякий раз, когда эта прямая будет пересекать окружность Форда (допустим, окружность, соответствующую рациональному числу p/q), разница между а и p/q обязательно будет меньше, чем радиус окружности, то есть меньше, чем 1/(2·q2): |a — р/q| < 1/(2·q2).
Как мы уже показали, окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби р/q, образуют последовательность, которая неизбежно приближается к р/q и в итоге «кусает» ее (см. рис. на стр. 51). Таким образом, если прямая, проведенная через точку, обозначающую иррациональное число а, пересекает окружность Форда, соответствующую дроби р/q, то она пересечет и другую окружность, касающуюся этой и расположенную под ней (см. следующий рисунок), а также окружность, расположенную под этой, и так далее. Отсюда следует, что прямая, соответствующая иррациональному числу, пересечет бесконечное множество окружностей Форда. Таким образом, существует бесконечное множество дробей р/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q| < 1/(2·q2). Это необычное следствие особого расположения окружностей Форда лежит на полпути между теоремами Дирихле и Гурвица, так как полученная нами константа равна 1/2, а согласно теоремам Дирихле и Гурвица она равняется 1 и 1/√5.
