Этому же закону подчиняется и динамика роста некоторых предприятий, в частности тех, где большую роль играют технологии, — фармацевтических компаний или операторов мобильной связи. Вначале затраты на исследования, патенты и т. д. превышают доходы от продаж, затем компания переживает период бурного роста и получает прибыль. На следующем этапе продажи падают, так как рынок постепенно насыщается. Также функцией Гомпертца описывается рост органов эмбриона или, что еще любопытнее, регенерация хвоста у ящерицы.
Хотя приведенное выше выражение может показаться сложным, следует понимать, что благодаря компьютерам вычислить его значение сравнительно легко. По сути, речь идет о достаточно простом выражении вида , в котором показатель степени возводится в новую степень.
В 1980-е годы исследователь Уэлдон заметил, что этой функцией не очень точно описывается рост опухолей малых размеров, поскольку в ней не учтены некоторые биологические аспекты, в частности роль иммунной системы. В поправке Уэлдона утверждается, что на первом этапе роста опухоли раковые клетки не сражаются за доступные ресурсы, и их рост описывается экспоненциальным законом, или моделью Мальтуса. Однако по достижении некоторого критического размера рост опухоли будет описываться уже не моделью Мальтуса, а функцией Гомпертца.
* * *
МАТЕМАТИКА И НОВЫЕ ПУТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
В 2005 году исследователь Антонио Бру из мадридского университета Комплутенсе предположил, что на поздних стадиях раковые заболевания можно излечивать, вызывая сильное и продолжительное воспаление тканей вокруг опухоли. Эта гипотеза стала результатом математических исследований роста раковых клеток. В ходе исследований было отмечено, что рост всех клеток подчиняется одной схеме, которую Бру назвал схемой универсальной динамики роста опухолей. В этой модели клетки на границе опухоли играют определяющую роль в методе лечения, предложенном Бру. Первоначальное скептическое отношение к гипотезе отчасти было вызвано тем, что использованная математическая модель отличалась от классических моделей раковых заболеваний. Во-первых, в ней предполагалось, что рост клеток подчиняется не экспоненциальному, а линейному закону, а во-вторых, считалось, что рост опухоли зависит не от количества питательных веществ, а от свободного пространства. Это прекрасный пример того, как математика подсказывает исследователям новые пути лечения рака.
Математическая модель и результат компьютерного моделирования роста раковой опухоли.
* * *
СПИД, свиной грипп и другие заболевания, которые можно изучить с помощью математики
В 1983 году французский исследователь Люк Монтанье описал вирус СПИДа, или ВИЧ (вирус иммунодефицита человека). Он представляет собой сферу диаметром 100 нанометров и имеет внешнюю белковую оболочку. Вирусологи называют этот вирус ретровирусом, так как его геном образован цепочкой РНК. По данным Всемирной организации здравоохранения, в 2006 году в мире насчитывалось примерно 39,3 миллиона человек, зараженных вирусом СПИДа, примерно 24 миллиона из них проживали на Африканском континенте.
В 2009 году средства массовой информации сообщили о начале пандемии свиного гриппа. По данным Всемирной организации здравоохранения, возбудителем заболевания является вирус H1N1/09. Его геном представляет собой смесь ДНК птиц, свиней и человека, поэтому вирус способен преодолевать межвидовые барьеры. Свиной грипп был самой популярной темой в СМИ летом и осенью 2009 года. Изначально процент смертельных случаев среди заболевших был высоким, однако со временем он снизился, что совпало с началом широкого использования противовирусных препаратов.
Подобные заболевания, носящие характер пандемии, становятся источником напряженности в обществе. Как санитарные службы всего мира прогнозируют и отслеживают распространение заболеваний? Как определяется момент начала эпидемии в определенной стране? Когда следует начинать вакцинацию людей, входящих в группу риска? Ответы на эти вопросы дает ряд математических моделей, составляющих формальное ядро эпидемиологии, которая изучает факторы, влияющие на здоровье и заболеваемость населения. Эпидемиология привлекла внимание математиков еще в начале XX века, а сегодня она стала одной из областей изучения математической биологии.
Первыми, кто рассмотрел эпидемии с точки зрения математики, были Уильям Хаммер и Рональд Росс. Для анализа эти ученые применили закон действующих масс. Позднее Лоуэлл Рид и Уэйд Фрост разработали модель Рида — Фроста, связав число здоровых людей, восприимчивых к заболеванию (S), число заболевших (I) и число людей, невосприимчивых к заболеванию.
Анализировать распространение заболеваний специалистам вновь помогают дифференциальные уравнения. Допустим, что численность населения составляет N человек, из которых I заражены вирусом. Это означает, что число здоровых людей равно N — I. Так как люди, зараженные вирусом, живут рядом со здоровыми, последние подвергаются риску заражения (S). Следовательно, S = N — I.
В одной из классических моделей эпидемиологии утверждается, что изменение числа зараженных в зависимости от времени описывается дифференциальным уравнением: I' = k·I·(N — I). В упрощенном виде оно выглядит так: I' = k·I·S. Решением этого дифференциального уравнения будет знаменитое логистическое уравнение, описывающее ход любой эпидемии:
Обратите внимание, что в начале эпидемии (то есть при t, стремящемся к нулю) логистическое уравнение будет приблизительно эквивалентным уравнению экспоненциального роста, то есть уравнению модели Мальтуса. Это отражает тот факт, что в начале эпидемии число зараженных резко увеличивается. В случае с заболеваниями, которые становятся причиной напряжения в обществе, например СПИДом или свиным гриппом, сообщения о росте эпидемии, распространяемые СМИ, только усугубляют панику.
Если предположить, что предельное число заболевших равно числу здоровых людей, восприимчивых к заболеванию, то есть N, то начиная с определенного момента рост эпидемии замедлится, как и рост числа новых заболевших, I. Это значение, столь важное для органов здравоохранения любой страны, достигается, когда число заболевших I составляет половину численности восприимчивого к вирусу населения, то есть N/2. После этого количество новых случаев заболевания стабилизируется вплоть до окончания эпидемии.
В настоящее время благодаря использованию компьютерного моделирования можно оценить распространение эпидемии (например, сезонного гриппа), что позволяет органам здравоохранения формировать календарь вакцинации населения.
В эпидемиологии используются такие компьютерные программы, как Epigrass, Any Logic Model-Builder и STEM (Spatio Temporal Epidemiological Modeler).
Число e и колония бактерий Escherichia coli
Нет такой области науки, где рано или поздно не появилось бы число е, будь то молекулярная биология или статистика, физика или химия. Это вездесущее число обнаруживается во множестве природных явлений. Число е — иррациональное. Это означает, что его десятичная запись никогда не заканчивается и не повторяется, что роднит его с числом π. Считается, что число е открыл Якоб Бернулли при изучении следующего предела:
получив результат 2,71828. Программа символьных вычислений, подобная Derive, позволяет мгновенно вычислить этот предел и получить указанный выше результат:
LIM((1 + 1/n)^n, n, INF, 0)
Приближенное значение числа e
В 1618 году Непер уже упоминает это число в своих логарифмических таблицах как основание натуральных логарифмов logc(x) или, в сокращенном виде, ln(х). Обозначение в виде буквы е ввел математик Леонард Эйлер в 1727 году. Среди любопытных фактов, связанных с этим числом, выделяются те, что относятся к экспоненциальной функции ех. Во-первых, производной функции f(х) = ех является эта же самая функция, то есть f'(х) = ех . Производная в точке х = 0 равна f'(х) = 1. Во-вторых, интерес представляет интеграл этой функции: Наконец, сумма бесконечного числа членов ряда 1/0! + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! равна числу е.
