Ахилл: И, поскольку Предложение К — всегда тема предложения П, у нас получается петля: Предложение П теперь указывает на самого себя. Как видите, автореферентность здесь получилась вполне случайно. Обычно Предложения П и К совершенно не похожи — но при правильном выборе темы в предложении П, квайнирование покажет вам этот магический трюк.
Черепаха: Ловко, ничего не скажешь! Странно, почему я сама до этого не додумалась. Скажите, а следующее предложение тоже автореферентно?
«СОСТОИТ ИЗ ЧЕТЫРЕХ СЛОВ»
СОСТОИТ ИЗ ЧЕТЫРЕХ СЛОВ.
Ахилл: Гм-м… Трудно сказать. Это предложение относится не себе самому, но скорее ко фразе «состоит из четырех слов». Хотя, разумеется, эта фраза — ЧАСТЬ предложения.
Черепаха: Так что предложение говорит о своей части — и что же?
Ахилл: Это можно тоже рассматривать как автореференцию, не так ли?
Черепаха: По моему мнению, отсюда еще далеко до настоящей автореферентности. Но не забивайте себе сейчас голову этими сложностями — у вас еще будет время о них поразмыслить.
Ахилл: Правда?
Черепаха: Безусловно, будет. А пока, почему бы вам не попробовать квайнировать фразу «Предваряемый цитатой себя самого, производит ложь»?
Ахилл: А, вы имеете в виду тот хулиганский звонок. Квайнирование этой фразы дает:
«ПРЕДВАРЯЕМЫЙ ЦИТАТОЙ СЕБЯ САМОГО, ПРОИЗВОДИТ ЛОЖЬ»
ПРЕДВАРЯЕМЫЙ ЦИТАТОЙ СЕБЯ САМОГО, ПРОИЗВОДИТ ЛОЖЬ.
Так вот что говорил тот негодяй! Я тогда его не понял. И правда, какое неприличное замечание! Да за такое надо в тюрьму сажать!
Черепаха: Это почему же?
Ахилл: Я от него просто заболеваю, в отличие от предыдущих высказываний, я не могу сказать, истинно ли оно или ложно. И чем больше я о нем думаю, тем больше запутываюсь. У меня от этой путаницы голова идет кругом. Интересно, что за лунатик изобрел подобный кошмар и мучает им по ночам честных людей?
Черепаха: Кто знает… Ну что, пора спускаться?
Ахилл: В этом нет нужды — мы уже на первом этаже. Зайдите обратно, и вы в этом убедитесь (Они заходят в башню и видят небольшую деревянную дверь) Вот и выход — следуйте за мной.
Черепаха: Вы уверены? Я вовсе не хочу свалиться с третьего этажа и сломать себе панцирь.
Ахилл: Разве я вас когда-нибудь обманывал?
(И он открывает дверь. Прямо перед ними сидит, по всей видимости, тот же самый мальчуган, болтающий с той же самой девушкой. Ахилл и г-жа Ч поднимаются по тем же ступенькам, по которым, как кажется, они раньше спускались, чтобы зайти в башню, и выходят во двор, кажущийся тем же самым двориком, в котором они уже побывали раньше.)
Благодарю вас, г-жа Ч, за ваше объяснение по поводу того хулиганского звонка.
Черепаха: А я вас — за прелестную прогулку. Надеюсь, мы скоро увидимся опять.
ГЛАВА XIV: О формально неразрешимых суждениях ТТЧ и родственных систем [41]
Две идеи «устрицы»
НАЗВАНИЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ — адаптация заглавия знаменитой статьи Гёделя, опубликованной в 1931 году; я заменил «Principia mathematica» на ТТЧ. Гёдель написал эту статью строго техническим языком, стараясь дать безупречное доказательство своей теоремы; в этой главе я постараюсь изложить его идеи более интуитивно. Сосредоточусь на двух идеях, лежащих в основе Гёделева доказательства. Первая идея — это открытие того факта, что некоторые строчки ТТЧ могут быть интерпретированы как суждения о других строчках ТТЧ; иными словами, ТТЧ оказалась языком, способным к самоанализу. Этот факт вытекает из Гёделевой нумерации. Вторая идея — это то, что данное свойство может быть сконцентрировано полностью в одной строке: в фокусе такой строки — она сама. Этот прием восходит, в принципе, к диагональному методу Кантора.
По моему мнению, всякий, кто желает достичь глубокого понимания Гёделева доказательства, должен признать, что в его основе лежит слияние этих двух идей. Каждая из них по отдельности уже является шедевром, но чтобы соединить их, потребовался гений. Однако если бы мне предложили выбрать, какая из двух идей важнее, я, безусловно, указал бы на первую — Гёделеву нумерацию, поскольку эта идея приложима к понятию значения и упоминания во всех системах, имеющих дело с символами. Эта идея выходит далеко за пределы математической логики, в то время как Канторов прием, как бы значим он ни был для математиков, почти не связан с реальной жизнью.
Первая идея: пары доказательства
Не откладывая дела в долгий ящик, приступим к рассмотрению самого доказательства. В IX главе мы уже объяснили довольно подробно идею Гёделева изоморфизма. Здесь мы постараемся описать математическое понятие, позволяющее нам перевести предложение типа «Строчка 0=0 — теорема ТТЧ» в высказывание теории чисел. Для этого мы воспользуемся парами доказательства. Пара доказательства — это пара натуральных чисел, соотносящихся между собой таким образом:
Два натуральных числа m и n (в данном порядке) являются парой доказательства в ТТЧ тогда и только тогда, если m — Гёделев номер такой деривации ТТЧ, последняя строчка которой имеет Гёделев номер n.
Аналогичное понятие существует и для системы MIU; пожалуй, интуитивно легче понять именно этот случай. Так что давайте на минуту оставим пары доказательства ТТЧ и обратимся к парам доказательства в системе MIU. Их определение почти такое же:
Два натуральных числа m и n (в данном порядке) являются парой доказательства в MIU тогда и только тогда, если m — Гёделев номер такой деривации MIU, последняя строчка которой имеет Гёделев номер n.
Давайте рассмотрим несколько примеров пар доказательства в системе MIU. Пусть m — 3131131111301, n = 301. Эти значения тип составляют пару доказательства, поскольку m — Гёделев номер следующей деривации MIU:
MI
MII
MIIII
MUI
где последняя строчка — MUI — имеет Гёделев номер 301, то есть n.
С другой стороны, при m = 31311311130, и n = 30 пары доказательства не получается. Чтобы понять, почему, рассмотрим деривацию, кодом которой должно было бы являться m:
MI
MII
MIII
MU
В этой предположительной деривации есть неверный шаг. Это — переход от второй к третьей строке: от MII к MIII. В системе MIU нет правила, которое позволяло бы подобный типографский шаг. Соответственно — и это очень важно — нет такого арифметического шага, который позволил бы вам перейти от 311 к 3111. Возможно, что, после того как вы прочли главу IX, это покажется вам тривиальным, но именно подобные наблюдения лежат в основе Гёделева изоморфизма. Все, что мы делаем в формальных системах, имеет свою параллель в арифметических действиях.
Так или иначе, величины m = 31311311130, и n = 30, безусловно, не являются парой доказательства MIU. Само по себе, это еще не означает, что 30 — не номер MIU. Могло бы найтись другое число, составляющее пару доказательства с 30. (На самом деле, мы уже выяснили ранее, что 30 — не теорема MIU. Следовательно, ни одно число не может составлять пару доказательства с 30.)
А как насчет пар доказательства в ТТЧ? Я приведу вам два параллельных примера, лишь один из которых является действительной парой доказательства. Можете ли вы определить, какой именно? (Кстати, именно здесь появляется кодон «611», функция которого — отделять Гёделевы номера последующих строк в деривации ТТЧ. В этом смысле, «611» служит в качестве знака препинания. В системе MIU эту роль выполняет начальное «3» каждой строки; там не нужна никакая дополнительная пунктуация.)
1) m = 626,262,636,223,123.262,111,666,611,223,123,666,111,666
n = 123,666,111,666
