* * *
БОЧКИ КЕПЛЕРА
Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объёма жидкости, заключённой в сосуде определённой формы. Когда цистерна с бензином приезжает на автозаправку, оператор обычно опускает в неё длинный металлический стержень для измерения уровня жидкости в ёмкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть нанесены в зависимости от формы цистерны.
Как правило, она имеет форму цилиндра, основания которого являются полусферами или параболоидами вращения. В некоторых аэропортах можно встретить цистерны такой же формы с керосином.
Галилей
Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.
Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.
Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636) и график, описывающий свободное падение тел.
На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость.
Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает, что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она равна 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ представляет пройдённое время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь будет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площади фигур, ограниченных ими. В своих расчётах он использовал методы, схожие с методами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.
Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадоксами бесконечности и изучить её природу. Именно так он пришёл к парадоксу, который не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была парадоксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое определение бесконечности.
Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея в 1638 году, звучит так.
Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10….
Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100….
Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем неограниченно добавлять к ним всё новые и новые числа. Кроме того, Галилей заметил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая бесконечность больше, первая или вторая, что ведёт к кажущемуся парадоксу. Он полагал, что либо в чём-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях «больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идёт о бесконечности.
В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кантор,
«арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».
Кавальери
Бонавентура Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями площадей и объёмов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».
Название говорит само за себя: с одной стороны, Кавальери был сторонником принципа непрерывности, с другой — он был готов считать, что непрерывные объекты можно разделить на элементарные части — монады, подобные атомам, которые далее нельзя разделить на более мелкие части. Он полагал, что прямая состоит из точек, подобно тому, как ожерелье состоит из бусинок, а объёмное тело — из плоскостей, точно так же, как книга — из страниц. Иными словами, неделимыми для прямой являются точки, неделимыми для плоскости — прямые, равноудалённые между собой, неделимыми для твёрдого тела — множество параллельных плоскостей, удалённых друг от друга на равное расстояние. Кавальери понимал, что число этих неделимых должно было быть бесконечным, но деликатно обходил этот вопрос. Более того, свой метод он назвал методом бесконечных, но работу озаглавил «Трактат о неделимых».
* * *
ТЕОРЕМА КАВАЛЬЕРИ
Метод, использованный Кавальери для вычисления объёмов, можно наглядно объяснить так: представьте, что перед вами — две стопки монет или фишек казино одинаковой высоты. Сдвинем монеты во второй стопке так, что она перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объём полученной фигуры будет достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что объём обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой неделимое.
По теореме Кавальери, объём обеих стопок монет одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально ровно, в другом — нет.
* * *
Принцип Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте, равны, то объёмы этих тел одинаковы.
С помощью этого метода Кавальери доказал, что объём конуса равен 1/3 объёма описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его подход вызвал жестокую критику современников, на которую учёный не мог возразить, поскольку не мог представить достаточное математическое обоснование своих рассуждений.
В защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий метод, а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И ему это удалось: метод Кавальери с успехом использовали такие математики, как Ферма, Паскаль и Роберваль. Особенно значительных результатов достиг последний, вычислив площадь, ограниченную дугой циклоиды.
Декарт
Рене Декарт (1596–1650) является основателем и главным представителем рационализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а ключевой фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по его мнению, была единственно возможной отправной точкой на пути преодоления сомнений. Его метод, как следует из названия, представляет собой множество правил, которые позволяют строить адекватные рассуждения в любой области человеческой мысли.
Нет сомнений, что Декарт был прежде всего философом, а не математиком, и полученные им математические результаты можно считать следствием использования его метода.
