Доказательства этих двух важных результатов метаматематики весьма схожи. Оба вытекают из автореферентных построений. Давайте сначала рассмотрим вопрос о разрешающей процедуре для теоремности ТТЧ. Если бы существовал некий способ, при помощи которого можно было бы сказать, принадлежит ли данная формула X к классу «теорем» или «не-теорем», то, согласно Стандартной Версии Тезиса Ч-Т, должна была бы существовать некая конечная программа Флупа (общерекурсивная функция), которая могла бы проделать то же самое, когда входными данными является Гёделев номер формулы X. Важно помнить, что любое свойство, которое может быть проверено при помощи конечной программы Флупа, представимо в ТТЧ. Но, как мы вскоре увидим, это было бы источником проблем, поскольку если теоремность — представимое свойство, то Гёделева формула G становится так же порочна, как и парадокс Эпименида.
Все зависит от того, что утверждает G: «G — не теорема ТТЧ». Предположим, что G была бы теоремой. Тогда, поскольку теоремность, по предположению, представима, то формула ТТЧ, утверждающая «G — теорема ТТЧ», была бы теоремой ТТЧ. Но эта формула — не что иное как ~G, отрицание G; выходит, что ТТЧ непоследовательна. Предположим теперь, что G — теорема. Тогда опять, поскольку мы предполагаем, что теоремы представимы, формула, утверждающая «G — не теорема» являлась бы теоремой ТТЧ. Но эта формула — не что иное, как G; мы снова получаем парадокс. В отличие от ранее описанной ситуации, этот парадокс не имеет решения. Проблема заключается в начальном предположении, что свойство теоремности представлено некоей формулой ТТЧ; следовательно, нам придется отказаться от этого предположения. Это заставляет нас признать, что не существует программы Флупа, способной отличить Гёделевы номера теорем от Гёделевых номеров не-теорем. Наконец, если мы принимаем Версию ИИ Тезиса Ч-Т, мы должны пойти еще дальше и заключить, что не существует такого метода, при помощи которого люди могут отличать теоремы от не-теорем (и это включает методы, основанные на восприятии красоты). Сторонники Версии Коллективных Процессов все еще могут полагать, что Крабьи способности возможны; но из всех версий именно эту труднее всего подтвердить фактами.
Теорема Тарского
Теперь давайте рассмотрим результат Тарского. Тарский хотел выяснить, существует ли способ выразить в ТТЧ понятие теоретико-численной истины. То, что теоремность можно выразить (но не представить), мы уже видели; Тарский задался аналогичным вопросом в приложении к понятию истины. Точнее, он хотел определить, есть ли формула ТТЧ с единственной свободной переменной а, которая может быть интерпретирована как:
«Формула, чей Гёделев номер — а, выражает истину.»
Предположим, вместе с Тарским, что такая формула существует. Для краткости назовем ее ISTIN{a}. Теперь используем метод диагонализации и построем высказывание, утверждающее о себе самом, что оно ложно. Для этого мы точно повторим метод Гёделя, начиная с «дяди»:
Ea:<~ISTIN{a}ΛARITHMOQUINE{a'',a}>
Предположим, что Гёделев номер этого дяди — t. Арифмоквайнируем теперь самого дядю и получим формулу Тарского Т:
Ea:<~ISTIN{a}ΛARITHMOQUINE{SSS...SSS/a'',a}>
. |______| S повторяется t раз
В интерпретации эта формула читается как:
«Арифмоквайнификацией t является ложное утверждение.»
Но, поскольку арифмоквайнификация t — это собственный Гёделев номер Т, формула Тарского Т в точности воспроизводит парадокс Эпименида внутри ТТЧ, говоря о себе «Я — ложь». Разумеется, это ведет к заключению, что это высказывание одновременно является и истинным и ложным (либо ни тем, ни другим). Возникает интересный вопрос: что плохого в воспроизведении парадокса Эпименида? Какие от этого могут быть последствия? В конце концов, этот парадокс уже существует в русском языке, и русский язык пока от этого не погиб.
Магиификраб невозможен
Ответ заключается в том, что здесь имеются два уровня значения. Один из них мы только что использовали; другой уровень — это утверждение теории чисел. Если бы формула Т Тарского действительно существовала, то она являлась бы высказыванием о натуральных числах, которое одновременно и истинно и ложно! Именно в этом вся загвоздка. В то время как мы можем отмахнуться от парадокса Эпименида в русском языке, сказав, что его тема (его собственная истинность) — это нечто абстрактное, дело меняется, когда речь идет о конкретных высказываниях о числах! Если мы решим, что такая путаница не должна существовать, то нам придется отказаться от предположения о существовании формулы ISTIN{a}. Следовательно, в ТТЧ невозможно выразить понятие истинности. Заметьте, что это делает истину еще более неуловимым понятием, чем теоремность, поскольку та, по крайней мере, выразима. Те же самые аргументы приводят нас к заключению, что:
крабий ум не способен распознавать истину, точно так же как он не способен распознавать теоремность ТТЧ.
Первое противоречило бы Теореме Тарского-Чёрча-Тюринга («Не существует разрешающей процедуры для арифметических истин»), а второе — Теореме Чёрча.
Два вида формы
Интересно подумать о значении слова «форма» в приложении к построению сложных фигур. Например, что заставляет нас признать картину красивой? «Форма» линий и точек на нашей сетчатке? По-видимому, так и должно быть, поскольку именно в этой форме картина передается анализирующим механизмам у нас в голове; однако сложность обработки этих данных вызывает у нас чувство, что мы смотрим на что-то большее, чем простая двухмерная поверхность, — мы отвечаем на некое внутреннее значение картины, ее многомерный аспект, заключенный внутри этих двух измерений. Здесь важно слово «значение». Наш разум оснащен переводчиками, производящими на основе двухмерных схем многомерные значения, такие сложные, что мы не можем их описать сознательно. То же самое можно сказать и о нашей реакции на музыку.
Субъективно может показаться, что механизм, извлекающий внутреннее значение, совершенно отличен от механизма, проверяющего наличие или отсутствие некоего определенного качества, такого, например, как правильно-сформированность строчек. Возможно, это потому, что внутреннее значение — это что-то, что проявляется со временем.
Из этого следует, что в схемах, которые мы анализируем, можно говорить о двух видах формы. Прежде всего, там существуют такие качества, как правильно-сформированность, наличие которой можно определить с помощью предсказуемо конечных тестов, как в программах Блупа. Я предлагаю называть это синтаксическими характеристиками формы. Интуитивно можно сказать, что синтаксические аспекты формы лежат близко к поверхности и, таким образом, не создают многомерных познавательных структур.
С другой стороны, семантические характеристики формы не могут быть проверены с помощью предсказуемо конечных тестов; для них требуются открытые тесты. Примером такого аспекта, как мы видели, является теоремность строчек ТТЧ. Мы не можем, использовав некий стандартный тест, установить, является ли данная строчка теоремой ТТЧ. Почему-то тот факт, что здесь идет речь о значении, важным образом соотносится с трудностью определения теоремности ТТЧ. Акт извлечения значения из строчки означает, по сути, установление всех связей данной строчки с остальными строчками, и это, в свою очередь, выводит нас на бесконечную дорогу. Таким образом, «семантические» характеристики соотносятся с открытым поиском, поскольку — и это очень важно — значение объекта не заключается внутри самого объекта. Это не означает, что никакой объект вообще никогда невозможно понять, поскольку со временем его значение становится все яснее. Однако некоторые аспекты значения останутся скрыты очень надолго.
Значение вытекает из отношения к познавательным структурам
Давайте перейдем от строчек ТТЧ к музыкальным произведениям. Если вам так больше нравится, можете продолжать употреблять слово «строчка» в применении к музыкальным пьесам. Это обсуждение весьма общее, но мне кажется, что его смысл легче передать на примере музыки. Значение музыкального произведения странным образом дуалистично: с одной стороны оно тесно соотносится с огромным количеством других вещей в мире, а с другой стороны, оно явно выводится из самой музыки, то есть, оно должно быть расположено где-то внутри музыкального произведения.
