Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идет о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдем все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдем все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:
1 —> 1/1
2 —> 1/2
3 —> 2/1
4 —> 3/1
5 —> 1/3
…
Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел).
Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счетными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество также является счетным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счетность с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел является плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так, нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число занимает шестое место.
* * *
МЫСЛИТЬ — ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ
Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное множество. Другое дело — множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.
Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.
* * *
По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?
Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?
Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счетности множества , но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, не является счетным, следовательно, М также не может быть счетным. Таким образом Кантор создал серьезный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Геделя о неполноте.
Больше чем бесконечность
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел не является счетным и содержит больше элементов, чем , то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.
Кардинальное число множества он обозначил как алеф-один — Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.
* * *
ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА
Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвященный, главным образом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.
* * *
Кантор знал, что — число точек, содержащихся на любом отрезке прямой.
Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно еще древним грекам.
Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.
Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой Е — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечет отрезок Ь, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.
Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат
и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно , то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал еще один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:
И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно .
«Я вижу это, но я в это не верю», — писал Кантор Дедекинду в 1877 году, пытаясь объяснить эти взаимно однозначные соответствия между фигурами, имеющими разное число измерений. Кантор доказал положение, противоречащее любым интуитивным и математическим представлениям о размерности: все одномерные, двумерные и трехмерные объекты, с которыми он работал, содержали одно и то же число точек, равное .
Это было невероятно, и этот результат означал, что на любом, сколь угодно малом, отрезке содержится столько же точек, сколько во всей известной Вселенной. Внутри бесконечно малого оказалось заключено нечто бесконечно большое.
В действительности дело этим не ограничивается: также равно числу точек в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать в пространства высших измерений (четырех-, пятимерные пространства и т. д.), означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.
Трансцендентные числа
Вы увидели, что множества (натуральных чисел), (целых чисел) и (рациональных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как . Множество вещественных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел иррациональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел, чтобы общее количество вещественных чисел равнялось ?. Ответ на этот вопрос достаточно любопытен и не лишен таинственности. Однако чтобы понять его, сначала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.
