Эпилог
Первым доказательством появления абстрактного мышления можно считать наскальный рисунок, созданный 35 000 лет назад.
Хорхе Вагенсберг
Есть книги, которые хранят, но не читают. Другие книги читают, но не хранят. А есть книги, которые читают, хранят и которые заставляют искать другие книги по этой же теме. Нам бы хотелось, чтобы этот маленький путеводитель в мире графов стал для вас именно такой книгой. О теории графов и ее различных применениях, а также о смежных областях — топологии, теории алгоритмов, дискретной математике — написано бесчисленное множество книг. Если эта тема вас заинтересовала, не прекращайте поиски, расширяйте свои знания.
Теперь, когда вы прочитали эту небольшую книгу, нам бы хотелось, чтобы вам запомнилась идея, доказательством которой служит теория графов: с помощью удивительно простых схем из точек и линий можно описать и решить множество задач, возникающих в различных интересных ситуациях. В этом и состоит главная особенность графов: мощь, заключенная в простоте.
Реальный мир сложен, на события и явления влияет множество факторов, но иногда искусство упрощения, умение устранить второстепенные детали и заострить внимание на наиболее важном — лучший способ разобраться в сути проблемы. Возможно, сила, заключенная в простоте графов, напоминает путь развития искусства в XX веке. Вместо того чтобы следовать по пути гиперреализма или вычурного барокко, в живописи и скульптуре была заново открыта художественная ценность цветных точек, линий и простых геометрических фигур. Современное искусство показывает, как можно с помощью простейших фигур и основных цветов создать художественные коды, новые эстетические каноны и передать эмоции.
Теория графов — еще одно подтверждение того, как важно уметь видеть лишь основное и необходимое в сложном мире.
В завершение эпилога приведем некоторые размышления философов на тему того, почему наше пространство имеет три измерения. Много лет назад Джеральд Джеймс Уитроу в своей книге «Структура и эволюция Вселенной» показал, что в пространствах, имеющих больше трех измерений, стабильное и равномерное движение планет вокруг Солнца было бы невозможно. Но в двумерном пространстве разумная жизнь также не могла бы существовать, что доказывает теория графов: мозг состоит из огромного числа нейронов (вершин графа!), связанных между собой нервами (ребрами графа!), которые не должны пересекаться. Подобные сложные связи между нейронами в двумерном пространстве были бы невозможны, что ясно видно на примере плоских графов. Эта аналогия особенно интересна тем, что даже наш разум представляется в ней как огромный нейронный граф.
Желаем, чтобы прекрасные графы сопровождали вас по жизни и помогали в решении самых разных задач.
Графы, множества и отношения
Математика, подобно любому прочному зданию, твердо стоит на фундаменте. Логика играет главную роль при выполнении дедуктивных умозаключений, лежит в основе понятий истинности и ложности, различий между аксиомами (постулатами) и теоремами, допустимыми формами доказательств и так далее. Теория множеств — еще одна колонна, на которой стоит здание математики. С ее помощью можно формализовать самые основные составляющие математических структур: элементы, множества, отношения, функции.
В наглядных объяснениях теории множеств используются как символы, так и графические обозначения. = (1, 2, 3, …} обозначает множество натуральных чисел. На рисунке ниже изображено это же множество в виде точек на прямой.
* * *
ГЕОРГ КАНТОР (1845–1918) И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Этот гениальный немецкий математик создал теорию множеств, чтобы дать более строгие определения многим математическим понятиям, в частности понятию бесконечности. Важный вклад в теорию множеств также внесли Фридрих Фреге и Юлиус Дедекинд. Благодаря Кантору стало возможным говорить, что «конечное множество — это множество, которое не является бесконечным» и что множество А является бесконечным, если между этим множеством и его подмножеством можно установить взаимно однозначное соответствие, то есть один к одному. Кантор прояснил вопрос, касающийся счетных бесконечных множеств, например множеств натуральных, целых или дробных чисел. Ему же принадлежит определение различных категорий бесконечностей (трансфинитные кардинальные и ординальные числа). Его идеи породили ожесточенные споры с другими математиками того времени (его основным противником стал Леопольд Кронекер), появились некоторые парадоксы, которые требовалось разрешить. Однако благодаря ему родилась красивая и фундаментальная теория множеств.
* * *
Для конечных множеств А = {a, b, с, d}, В = {а, Ь, е, f} обычно используются диаграммы Венна. На этих диаграммах элементы множеств представлены в виде отдельных точек и замкнутых кривых, ограничивающих группы точек.
Для множеств А, В их декартово произведение А x В определяется так:
то есть как множество упорядоченных пар (а, Ь). Это обозначение связано с традицией, начатой Рене Декартом, обозначать точки на плоскости (х, у) или в пространстве (х, у, z) упорядоченными парами или тройками чисел — координатами. Заметим, что слова по сути тоже представляют собой упорядоченные множества букв.
Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
На основе декартовых произведений вида А x A, то есть произведений множества на само себя, можно определить базовое понятие отношения R как подмножества А х А. Иными словами, отношение указывает элементы А, связанные между собой.
Если (а, Ь) принадлежит R, то между а и Ь имеется отношение. Если (а, с) не принадлежит R, то между а и с отсутствует отношение. Так, для данного отношения R для каждого элемента а имеет смысл рассматривать класс всех элементов, для которых установлено отношение с а. Если (а, Ь) принадлежит R, то это отношение также записывается в форме «а R Ь».
Рассмотрим в качестве примера множество А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} и отношение R на множестве A: a R Ь, если а кратно Ь. Упорядоченные пары для этого отношения можно представить в декартовых координатах.
Представление отношения в декартовых координатах.
Также можно использовать ориентированный граф, как показано ниже:
Направленный граф, представляющий отношение.
Отношения эквивалентности
Применительно к классификациям на множестве особый интерес представляют так называемые отношения эквивалентности R на множестве А. Они обладают тремя свойствами.
1. Рефлексивностью: a R а.
2. Симметричностью: если a R Ь, то b R а.
3. Транзитивностью: если a R b и b R с, то a R с.
Иными словами, отношение существует между любым элементом и им самим, это отношение обладает симметричностью и транзитивностью для троек элементов.
Если отношение R удовлетворяет всем этим свойствам, то множество А разделено на классы. Подобные отношения на конечных множествах можно представить с помощью графов: элементы множеств будут представлены в виде точек, соединенных линиями со стрелками, которые будут обозначать отношения.
Представление свойств отношения эквивалентности в виде графов.
Так как отношение эквивалентности делает возможным классификацию элементов множества, можно построить схемы, подобные тем, что показаны на рисунке.
Классификация, связанная с отношением эквивалентности.
Если А — множество людей, a R — отношение «иметь одинаковый возраст», то при классификации элементов множества на основе этого отношения сформируются группы по возрасту. Если А — множество целых чисел, a R — такое отношение, что a R Ь, если а — Ь без остатка делится на два, то при классификации получатся группы четных и нечетных чисел.
