Итак, мы определили операцию, которая любой паре точек кривой (совпадающих или нет) ставит в соответствие третью точку. Докажем, что эта операция является групповой. Мы уже указали, что О — нейтральный элемент группы. Определить точку, обратную точке Р, очень просто: эта точка (обозначим ее Р') будет симметрична ей относительно оси абсцисс, так как прямая, соединяющая Р и Р', расположена вертикально, следовательно, пересекает кривую в точку О, и Р + Р' = О.
Чтобы показать, что эта операция действительно определяет группу на множестве решений уравнения y² = x3 + ах + b, осталось доказать, что она обладает свойством ассоциативности.
Пусть Р, Q и R — три произвольные точки кривой. Мы хотим убедиться, что
(P + Q) + Р = Р + (Q + P).
103
Для этого достаточно доказать, что прямая l1 соединяющая P+Q и R, пересекает кривую в той же точке, что и прямая l2, соединяющая Р и Q +R, следовательно, достаточно построить симметричные точки.
Сначала проведем прямую, соединяющую Р и Q, и найдем точку, в которой эта прямая пересечет кривую. Обозначим эту точку через PQ. С помощью этих двух вспомогательных прямых получим точку Р + Q. Соединим Р + Q и R прямой l1 и посмотрим, в какой точке эта прямая пересекает кривую. Обозначим эту точку через Т.
Теперь найдем Р + (Q + R) и обозначим ее на том же рисунке. Прямая, соединяющая Q и Р, пересекает кривую в точке QR. Симметричной ей будет точка Q + R.
Нужно доказать, что прямая l2, соединяющая Q + R и Р, пересекает кривую в точке Т.
104
Обозначим через C1 объединение трех прямых, изображенных пунктирной линией. Учитывая, что точка схода О принадлежит прямой, соединяющей QR и Q + R, заметим, что C1 пересекает эллиптическую кривую в следующих девяти точках:
С1 ∩ C = {O, Р, Q, R, PQ, QR, P+Q, Q+R, T}.
Первые восемь из них также принадлежат объединению прямых, изображенных сплошными линиями, которое мы обозначим С2.
Теперь мы можем использовать классическую теорему о пересечении кубических кривых на плоскости. Прежде чем изложить ее, напомним, что кубическая кривая задается множеством решений уравнения третьей степени от переменных х и y.
К примеру, кубической кривой является эллиптическая кривая, заданная уравнением y² = x3 + ах + b. Кроме того, кубической кривой будет и объединение трех прямых, так как его уравнение представляет собой произведение уравнений этих прямых, то есть уравнений первой степени. Чтобы различить эти две ситуации, говорят, что эллиптическая кривая называется неприводимой, а объединение трех прямых представляет собой так называемый вырожденный случай. Имеем:
Предложение. Пусть С — неприводимая кубическая кривая, a C1 и С2 — две произвольные кубические кривые. Пусть С и С1 пересекаются в девяти точках, восемь из которых принадлежат пересечению С и С2. Тогда этому же пересечению будет принадлежать и девятая точка.
Применив это утверждение в нашем случае с эллиптической кривой, С1 и С2, получим, что точка Т принадлежит Сг Единственная точка, которой нам не хватало для определения С2 и С, — это точка пересечения кривой и прямой, соединяющей Р и Q + R. Этой точкой обязательно будет точка Т, что и требовалось доказать. Итак, мы доказали свойство ассоциативности, таким образом, определенная нами операция является групповой. Кроме того, заметим, что мы получили абелеву группу, так как при построении Р + Q используется прямая, соединяющая Р и Q, а ее расположение не зависит от того, в каком порядке мы рассмотрим точки.
Следовательно, рациональные точки на эллиптической кривой, которые мы обозначим Е (Q), определяют группу. В 1922 году математик Луис Морделл в поисках ответа на вопрос Пуанкаре доказал следующую теорему:
105
Теорема Морделла. Абелева группа E(Q) порождена конечным числом элементов.
Иными словами, существует конечное число рациональных решений уравнения у²=х3 + ах + b, на основе которых можно восстановить все остальные путем последовательного применения групповой операции. Как мы показали, конечнопорожденная абелева группа всегда имеет вид
Z' × Z/n1 ×...× Z/nk.
Число копий группы целых чисел, используемых в этом выражении, называется рангом эллиптической кривой. Определить это число крайне сложно. Между прочим, одна из важнейших открытых задач современности (за ее решение полагается премия в один миллион долларов), гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера, заключается в том, чтобы выразить ранг эллиптической кривой через другие аналитические инварианты. Впрочем, эллиптические кривые нужны не только для того, чтобы заработать миллион долларов: они сыграли важнейшую роль в доказательстве великой теоремы Ферма, а также помогли улучшить алгоритмы шифрования данных с открытым ключом.
ВЕЙЛЬ: В своей диссертации я доказал, что теорема Морделла верна и для кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней. Более того, Морделл подозревал, что выполняется более строгое условие: группа решений является не только конечнопорожденной, но и конечной; иными словами, в ее разложении не может фигурировать никакая копия группы целых чисел. Именно эту гипотезу хотел доказать Жак Адамар, однако найти искомое доказательство удалось лишь в 1983 году.
ЛЕВИ-СТРОСС: Благодарю вас, господин Вейль: ваши объяснения открыли мне дорогу в новый мир. Но позвольте попросить вас об услуге: давайте и дальше следовать прежнему методу! Раз уж нам суждено учиться вместе, мы спокойно можем беседовать, «не боясь наказанья судьбы, любви, времени и смерти».
106
За алгебру, этот дворец совершенных кристаллов,
[...]
За музыку, таинственную форму времени.
Хорхе Луис Борхес, «Другая поэма о дарах»
ЛЕВИ-СТРОСС: В первом томе моих «Мифологии» я писал, что музыка — «величайшая загадка всех человеческих наук». Сможете ли вы объяснить музыку при помощи теории групп?
ВЕЙЛЬ: Позвольте рассказать вам одну историю. Много лет назад мы с женой отправились на концерт. Во время концерта один из слушателей внезапно скончался от инфаркта. Музыканты остановились, дождались прибытия врачей, после чего концерт продолжился. В нашей ложе наблюдалось всеобщее оживление; люди не переставали шептаться. Я попросил их замолчать, но мои слова показались им воплощением абсолютной жестокости. «Боже правый, разве вы не видели, что произошло? Человек умер!» Мои соседи словно бы соревновались в том, кто сможет сильнее пристыдить меня. Я ответил им: «Есть способы умереть и похуже, чем под музыку Моцарта». Именно так хотел бы умереть и я. Представляете себе, какое это удовольствие — скончаться под звуки музыки, которая кажется непостижимой и лишь на несколько мгновений становится осязаемой? Ни теория групп, ни любая другая научная теория искусства никогда не смогут объяснить, почему кто-то может столь сильно любить музыку. Впрочем, эти теории позволяют прояснить некоторые формальные характеристики музыки, которые и делают ее прекрасной.
ЛЕВИ-СТРОСС: Математика — самая абстрактная из наук, подобно тому как музыка — самое абстрактное из искусств.
ВЕЙЛЬ: Вы уже знаете, что связь между математикой и музыкой почти столь же древняя, как и сама философия. По легенде, однажды Пифагор проходил мимо мастера, который выковывал жаровню, как вдруг его внимание привлекли гармоничные звуки ударов молота по раскаленному металлу. Измерив размеры инструментов, Пифагор понял, что звуки ударов двух молотов были созвучны лишь тогда, когда соотношение их длин выражалось малыми натуральными числами.
107
Если, к примеру, один молот был вдвое длиннее другого (2:1), то его звук был на октаву выше. Если же соотношение длин равнялось 3:2, то звуки различались на квинту.
В общем случае приятными на слух были все звуки, которым соответствовало соотношение вида (n + 1:n). Вернувшись домой, Пифагор продолжил опыты и убедился, что ключ к красоте музыки — в гармоничных соотношениях.
ЛЕВИ-СТРОСС: А красота есть истина. Именно тогда Пифагор начал постепенно склоняться к тому, что «все сущее есть число». Если к доказательству того, что музыка есть число, прибавить идею о Вселенной, состоящей из сфер, которые вращаются вокруг солнца под звуки божественной музыки, то станет очевидно: равновесие космоса описывается немногими математическими законами.
ВЕЙЛЬ: Этот идеальный порядок был разрушен с открытием иррациональных чисел. Гиппас из Метапонта обнаружил, что не все величины можно представить в виде отношения натуральных чисел, за что, по всей видимости, и был убит друзьями-пифагорейцами. Помню, как моя сестра Симона в ответ на длиннейшее письмо, которое я написал ей из Руанской тюрьмы в марте 1940 года (должно быть, оно немало взволновало ее), призналась, что эта история всегда казалась ей какой-то глупостью. По ее мнению, все произошло с точностью до наоборот: открыв, что квадратные корни, по сути абстракцию, можно использовать при измерении длин, Пифагор воскликнул: «Все сущее есть число!»
