Возможно, ученые когда-нибудь докажут, что в природе не существует и никогда не существовало различий между потенциальной и актуальной бесконечностью и что противоречие между ними лишь мнимое.
Иррациональность √2
Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.
Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.
Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида
√2 = p/q
Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
2 = p2/q2
и, как следствие,
Р2 = 2q2.
Это означает, что р2 четно, поэтому р также четно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем
2q2 = р2 = (2n)2 = 4n2.
Упростив равенство, получим
q2 = 2n2.
Иными словами, q2 четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что и р, и q — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.
Первые приближенные значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.
Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:
√2 ~= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.
С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.
Множества чисел
Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой . Это множество записывается так:
= {0, 1, 2, 3, 4, 3, 6, 7…}
Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.
На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида
х — 2 = 0.
Однако уравнения вида х + 2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой .
Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида
2х + 3 = 0,
корнем которого является х = —3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел . Для уравнений вида
х2 — 2 = 0
следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел .
Наконец, уравнение
х2 + 2 = 0
не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа, которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, позволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел, множество которых обозначается буквой . Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).
Каждое из определенных нами множеств включает предыдущее (является его алгебраическим расширением):
BOYER С.В. Historia de la matematica, Barcelona, Destino, 2009.
CANTOR G. Fundamentos para una teoria general de conjuntos, Madrid, Alianza Universidad, 1986.
COLLETTE J.P. Historia de la matematica, Madrid, Siglo XXI, 1985.
DEDEKIND R. ¿Que son у para que sirven los numeros? Madrid, Alianza, 1998.
GUTHRIE Ch. Historia de la filosofia griega, Madrid, Gredos, 2009.
KLINE M. El pensamiento matematico de la Antigiiedad a nuestros di'as, Madrid, Alianza Universidad, 1992.
MANKIEWICZ R. Historia de las matemdticas, Barcelona, Paidos, 2005.
MONNOYEUR F. El infinito de los matemdticos, el infinito de los filosofos, Paris, Editions Belin, 1995.
MOSTERIN J. Los logicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.
STEWART I. De aqui al infinito, Barcelona, Critica (Grijalbo Mondadori), 1998.
ZELLINI P. Breve historia del infinitoy Madrid, Siruela, 2003.
* * *
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 18
Эирике Грасиан
Открытие без границ. Бесконечность в математике
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция: ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:
8-800-200-02-01
Телефон горячей линии для читателей Москвы:
8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей: Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).
Распространение: ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:
0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»
Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к, тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
