Эвклидово доказательство типично для так называемой «реальной математики». Оно просто, точно и изящно и иллюстрирует тот факт, что несколько коротких шагов могут увести нас весьма далеко от начального пункта. В нашем случае, таким начальным пунктом являлись основные идеи о свойствах умножения, деления, и так далее. Короткие шаги — это этапы рассуждения. Хотя каждый отдельный шаг кажется очевидным, конечный результат таковым не является. Нам никогда не удастся проверить, верно ли это утверждение Эвклида; однако мы верим в его истинность, поскольку мы верим в логические рассуждения. Если вы принимаете эти рассуждения, вам не остается выхода; раз вы согласились выслушать Эвклида, вам придется согласиться с его выводом. Этот отрадный факт означает, что математики всегда могут придти к согласию по поводу того, какие утверждения считать «истинными», а какие — «ложными».
Это доказательство — пример упорядоченного процесса мысли. Каждое утверждение соотносится с предыдущим неоспоримым образом; именно поэтому мы говорим скорее о «доказательстве», чем об «очевидном свидетельстве». Целью математики всегда являлось нахождение строгого доказательства какого-либо неочевидного утверждения. Сам факт строгого соотношения шагов доказательства указывает на то, что должна существовать определенная схема, связывающая эти утверждения в одно логическое целое. Об этой схеме лучше всего рассуждать при помощи специального нового лексикона, состоящего из символов, годных только для описания утверждений о числах. Таким образом, мы сможем рассмотреть версию доказательства в «переводе». Это будет набор утверждений, строго соотносящихся между собой; причем эти отношения всегда можно описать. Утверждения, поскольку они записаны компактными, стилизованными символами, выглядят как определенные структуры. Другими словами, при прочтении вслух мы видим, что эти утверждения говорят о числах и их свойствах; записанные же на бумаге, они выглядят как абстрактные структуры. Таким образом, последовательно, строка за строкой прочитанная схема доказательства начинает казаться постепенной трансформацией структур по определенным типографским правилам.
Минуя бесконечность
Хотя Эвклид доказывает, что каждое число обладает определенным свойством, он, тем не менее, не рассматривает в отдельности каждый из бесконечно многих случаев. Для этого он использует выражения типа «каким бы числом N ни было», или «неважно, какое N мы возьмем». Мы могли бы перефразировать доказательство, используя фразу «все N». Умело обращаясь с подобными выражениями, мы всегда можем избежать возни с бесконечным количеством утверждений. Вместо этого мы будем иметь дело лишь с двумя-тремя понятиями, например, такими, как слово «все». Сами по себе конечные, они воплощают в себе бесконечность и поэтому позволяют нам обойти такое препятствие, как необходимость доказывать бесконечное количество фактов.
Мы используем слово «все» по-разному, что определено нашим мыслительным процессом: существуют правила, которым подчиняется наш выбор. Возможно, что мы не сознаем этого и утверждаем, что руководствуемся значением слова; однако это лишь иносказание, выражающее все ту же идею; наше мышление подчиняется определенным негласным законам. Всю жизнь мы используем слова как часть определенных структур; но, вместо того, чтобы называть эти структуры «правилами», мы приписываем их возникновение и развитие «значениям» слов. Это открытие было решающим шагом на пути формализации теории чисел.
Рассмотрев доказательство Эвклида более внимательно, мы увидели бы, что оно складывается из многих крохотных, почти бесконечно малых шагов. Если бы мы записали их одно за другим, доказательство показалось бы невероятно сложным. Оно кажется нам легче, когда несколько шагов складываются на манер телескопа и составляют одно-единственное предложение. Если бы мы рассмотрели это доказательство, как в замедленной съемке, перед нами предстали бы отдельные «секции». Другими словами, деление может идти лишь до определенного предела, за которым мы сталкиваемся с «атомной» природой мыслительных процессов. Доказательство может быть разбито на серию крохотных, но отдельных этапов; рассмотренные «издалека», они сливаются в непрерывный поток. В главе VIII я приведу пример такой «атомизации» доказательства, и вы увидите, какое множество шагов в нем участвует. Возможно, что это вас не удивит. В мозгу у Эвклида, когда он изобретал свое доказательство, работали миллионы нейронов, многие из которых давали сотни импульсов в секунду. Чтобы произнести одно-единственное предложение, в мозгу задействованы сотни тысяч нейронов. Если мысли Эвклида были настолько сложны, логично ожидать, что его доказательство также состоит из огромного количества шагов! (Хотя, скорее всего, прямой связи между нейронной активностью мозга и доказательством в нашей формальной системе не существует, они, тем не менее, сравнимы по своей сложности — словно природа желает сохранить сложность доказательства бесконечного множества простых чисел, несмотря на то, что это доказательство представлено в таких различных системах.)
В последующих главах мы разработаем такую формальную систему, которая (1) включает стилизованный лексикон, способный выразить все высказывания о натуральных числах и (2) имеет правила, соответствующие всем необходимым типам рассуждений. При этом возникает вопрос, сравнима ли мощность подобных формальных правил (по крайней мере, в сфере теории чисел) с мощностью тех правил, которыми мы регулярно пользуемся в наших мыслительных процессах. Иными словами, существует ли теоретическая возможность, используя формальную систему, достичь уровня наших мыслительных способностей?
Звонит телефон — Ахилл берет трубку.
Ахилл: Алло, Ахилл слушает.
Ахилл: А, здравствуйте, г-жа Черепаха. Как дела?
Ахилл: Кривошея и чихиллит? Что такое чихи… — а, теперь понимаю. Будьте здоровы!… Что и говорить, неприятная комбинация. Как это вы ухитрились такое подцепить?
Ахилл: И долго вы ее так продержали?
Ахилл: Еще на самом сквозняке — не удивительно, что вам в шею надуло!
Ахилл: Что же вас заставило так долго там проторчать?
Ахилл: Многие из них удивительные? Какие, например?
Ахилл: Фантасмагорические чудища? Что вы имеете в виду?
Ахилл: И вам не страшно было в такой компании?
Ахилл: Гитара? Вот странно — откуда взялась гитара среди этих диковинных созданий. Кстати, вы играете на гитаре?
Ахилл: Ах, для меня это одно и то же.
Ахилл: Вы правы удивительно, как это я сам до сих пор не заметил, в чем разница между гитарой и скрипкой. Кстати о скрипках: не хотите ли вы заглянуть ко мне и послушать сонату для скрипки соло вашего любимого композитора, И. С. Баха? Я только что купил отличную запись. Поразительно, как это Баху удалось, используя одну-единственную скрипку, создать такую интересную вещь.
Ахилл: Головная боль тоже? Бедняжка… Пожалуй, вам лучше лечь в постель и постараться заснуть.
Ахилл: Понятно. Овец считать уже пробовали? Где-то у меня была целая картотека подобных трюков — говорят, они здорово помогают от бессоницы.
Ахилл: Ах, да. Я отлично понимаю, что вы имеете в виду — я это тоже пробовал. Может быть, если уж эта задачка так застряла у вас в голове, вы поделитесь ею со мной, чтоб и я мог попробовать свои силы?
Ахилл: Слово, внутри которого встречаются подряд буквы «Р», «Т», «О», «Т», «Е»… Г-м-м… Как насчет «ретотра»?
Ахилл: Ах, какой стыд… Конечно вы правы — я опять все перепутал. К тому же в слове «реторта» эти буквы все равно идут задом наперед.
Ахилл: Уже несколько часов? Хорошенькую вы мне задали задачку… Где вы откопали такую дьявольскую головоломку?
Ахилл: Вы имеете в виду, что он только делал вид, что размышляет над эзотерическими буддистскими проблемами, когда на самом деле он пытался придумать сложные словесные головоломки?
Ахилл: Ага! Улитка знала, чем он занимается. Как же вам удалось с ней переговорить?
Ахилл: Вы знаете, я как-то слышал похожую головоломку. Хотите, я вам ее задам? Или это еще хуже вас отвлечет?
Ахилл: Согласен — хуже уже вряд ли будет. Так вот: какое слово начинается с «КА» и кончается на «КА»?
Ахилл: Очень остроумно — но это нечестно. Я совершенно не это имел в виду!
Ахилл: Согласен, это слово выполняет условие; но все равно это какое-то дегенеративное решение.
