129
Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <аm> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.
Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение
φ:<a>→ <аm> × <a'>,
которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((am)ui,(ar)vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аi = аi+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аi и аi+kn совпадают. Для этого заметим, что
(am)u(i+kn) = (am)ui(an)ukm = (am)uieukm = (am)ui
так как аn = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аi) = φ(аi+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим
φ(e) = φ(a0) = ((am)0, (ar)0) = (e, e) = e.
Рассмотрим второе условие:
φ(aiaj) = φ(ai+j) = ((am)u(i+j), (ar)u(i+j)) = ((am)ui(am)uj, (ar)vi(ar)vj) = ((am)ui(ar)vi, (am)ui(ar)vi) = φ(ai) φ(aj),
так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.
Для этого заметим, что <а> и <аm> х <аr> — группы одного порядка. В самом деле, элементы аm и аr имеют порядок r и m соответственно, так как
(аm)r = (аr)m == amr = an
а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <аm> х <аr> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.
130
С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аi) = е следует аi = е. Если φ(аi) — нейтральный элемент, то аmui = аrvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аi = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.
Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.
Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aibi, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).
Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × <b> → G, которая ставит в соответствие пару (аi, bi) элементу aibi группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.
Следовательно, запись аibi может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аibi, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.
Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).
Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = рem, порядок (b) = рfn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для рe и m, а также для рf и n.
Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы <a>≃<am> × <apr> и <b>≃<bn> × <bpt>. Следовательно:
<a> × <b> ≃ <am> × <ape> × <bn> × <bpf>. (*)
131
Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, pf и n соответственно. Так как m и pf взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение <apr> × <bn> изоморфно циклической группе порядка pfm. Так как n и pfm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка pfmn.
Примем у = аm. Порядок этого элемента равен рe. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> <b> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.
Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = pfmn делится на порядок (у) = рe, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму[2]:
Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами.
Можно выбрать ее порождающие элементы так, что порядок одного будет делителем порядка другого.
Продолжим доказательство.
Порядок группы
Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.
Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у3 равнялось х2, то х2у4 и х4у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что уt совпадает с xs для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как уl = е = хlk.
132
В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xiyj, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xiyj = xiyj выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы хi'-i = уj-j', или, что аналогично, уj-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как хi'-i = е при —lk < i' —i < lk.
Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.
Целое число v
Обозначим через r порядок элемента уt. Так, е = (уt)r = уtr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.
С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.
С другой стороны, имеем равенства yl(u+1)-l = yt(u+1)(u + i )= xs(u+1), так как у имеет порядок l, и уt = xs.
Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = уt = ylr = xsr.
В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.
Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что gd = е.
Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.
Тогда е = gd = gpn + r = (gn)p gr = gr, так как gn = e. Таким образом, gr = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.
