Почти все «доказательства» написаны на самом элементарном уровне (и используют обозначения, заимствованные из высшей математики и, быть может, некоторых плохо усвоенных работ по теории чисел). Тем не менее понять их очень трудно. В социальном плане отправители нередко оказываются людьми с техническим образованием, но с несложившейся карьерой, которые пытаются теперь достичь успеха с помощью доказательства Великой теоремы Ферма. Некоторые рукописи я передал психиатрам, и те диагностировали тяжелую шизофрению.
Одно из условий в завещании Вольфскеля состояло в том, что Академия была должна ежегодно печатать извещение о конкурсе на соискание премии в главных математических журналах. Но уже через несколько первых лет журналы отказались печатать уведомление о конкурсе потому, что редакции оказались заваленными письмами и сумасшедшими рукописями. Надеюсь, что эта информация представит для Вас некоторый интерес.
Искренне Ваш Ф. Шлихтинг»
Как упоминает д-р Шлихтинг, участники конкурса не ограничивались тем, что присылали свои «доказательства» в Академию. Вряд ли во всем мире найдется хотя бы один математический факультет, где бы ни стоял шкаф, набитый поступившими от любителей «доказательствами». Большинство университетов попросту оставляет такие любительские доказательства без внимания и ответа, но некоторые университеты прибегали к более изобретательным способам, позволявшим отделаться от назойливых корреспондентов.[9] Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер вспоминает об одном своем знакомом, имевшим обыкновение возвращать пришедшие в его адрес рукописи с запиской, в которой извещал отправителя, что недостаточно компетентен для того, чтобы вникнуть в детали доказательства, и сообщал имя и адрес эксперта, который мог бы разобраться в деталях доказательства, т. е. по существу предлагал любителю обратиться к несчастному эксперту. Другой приятель Мартина Гарднера отвечал авторам присланных доказательств так: «У меня есть замечательное опровержение присланного Вами доказательства, но, к сожалению, эта страница недостаточно велика, чтобы вместить его».
Хотя математики-любители всего мира на протяжении XX века пытались найти доказательство Великой теоремы Ферма и терпели одну неудачу за другой в попытках завоевать премию Вольфскеля, математики-профессионалы в основном продолжали игнорировать эту проблему. Вместо того, чтобы опираться в своих исследованиях на труды Куммера и других специалистов по теории чисел, математики обратились у изучению оснований своей науки, чтобы сосредоточить внимание на самых фундаментальных вопросах о числах. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить, какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее — неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на судьбах Великой теоремы Ферма. [10]
На протяжении веков математики занимались тем, что с помощью логического доказательства пытались построить мост, ведущий от известного в неизвестное. Им удалось достичь феноменальных успехов. Каждое новое поколение математиков расширяло грандиозное здание своей науки, создавая новые представления о числах и фигурах. Но к концу XIX века вместо того, чтобы смотреть вперед, некоторые математики стали все чаще оглядываться назад, на основания математики, на которых зиждилось все остальное. Они хотели пересмотреть самые основания математики для того, чтобы заново построить ее, соблюдая все требования математической строгости, начиная с первых принципов, чтобы еще раз убедиться в надежности этих самых первых принципов.
Математики известны своей придирчивостью. Прежде чем принять любое утверждение, они требуют абсолютного доказательства его истинности. Их репутация отчетливо выражена в истории, которую Ян Стюарт приводит в своей книге «Понятия современной математики»: «Рассказывают, что астроном, физик и математик проводили отпуск в Шотландии. Глядя из окна поезда, они заметили посреди поля черную овцу. «Как интересно, — заметил астроном, — все шотландские овцы черные!» «Нет, нет! — возразил физик. — Некоторые шотландские овцы черные!» Математик задумчиво посмотрел вверх, а затем протянул: «В Шотландии есть по крайнее мере одно поле, посреди которого пасется по крайней мере одна овца, у которой по крайней мере одна сторона черная».
Еще строже, чем обычный математик, рассуждает тот математик, который специализируется в области математической логики. Математические логики ставят под сомнение даже те идеи, которые другие математики столетиями считали незыблемыми. Например, закон трихотомии утверждает, что каждое целое число либо отрицательно, либо положительно, либо равно нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики всегда молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто никогда не потрудился проверить, так ли это. Логики поняли, что до тех пор, пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться ложным, а если оно окажется ложным, то рухнет все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.
Со времен Древней Греции математика накапливала все больше и больше теорем и высказываний, которые не были строго доказаны. Математики были озабочены истинностью некоторых из них, проникших в математический арсенал без должного анализа, — таких, как закон трихотомии. Некоторые идеи были усвоены очень давно, однако, никто не может быть вполне уверен в том, что они могут считаться доказанными, поскольку в разное время были разные представления об уровне строгости доказательства. Поэтому логики решили проверить доказательство каждой теоремы с самого начала. Но каждая истина должна быть выведена из других истин. В свою очередь те истины сначала должны быть доказаны, исходя из еще более фундаментальных истин, и т. д. В конце концов логики оказались лицом к лицу с несколькими утверждениями, настолько фундаментальными, что вывести их из других утверждений не представлялось возможным. Эти фундаментальные утверждения называют аксиомами математики.
Одним из примеров аксиом может служить коммутативный закон сложения, который гласит: для любых чисел m и n верно равенство
m + n = n + m
Этот закон и несколько других аксиом принято считать самоочевидными. Они легко могут быть проверены на любых числах. До сих пор аксиомы успешно проходили все проверки и были приняты за основу всей математики. Задача, которую поставили перед собой логики, заключалась в том, чтобы попытаться заново построить всю математику, исходя из этих аксиом. В Приложении 8 приводится набор аксиом арифметики и дается представление о том, как логики намереваются, исходя из них, построить всю остальную математику.
В медленном и болезненном процессе перестройки грандиозного и сложного здания математического знания на основе минимального числа аксиом участвовали очень многие математики. Идея этой перестройки заключалась в том, чтобы обосновать с использованием строжайших стандартов логики то, что математики считали давно известным. Немецкий математик Герман Вейль так описывал настроение того времени: «Логика — это гигиена, правила которой математик соблюдает, чтобы сохранить свои идеи здоровыми и сильными». Кроме того, была надежда, что столь фундаментальный подход позволит пролить свет на еще нерешенные проблемы, в том числе — на Великую теорему Ферма.
Программу обновления математики возглавил один из самых выдающихся ученых XX века — Давид Гильберт. По его глубокому убеждению, все в математике может и должно быть доказано, исходя из основных аксиом. Результат аксиоматического подхода должен был быть доказательно продемонстрирован на двух важнейших элементах математической системы. Во-первых, математика, по крайней мере в принципе, должна быть способна ответить на каждый вопрос в отдельности — это тот самый принцип полноты, который в прошлом требовал введения новых чисел, например, отрицательных и мнимых чисел. Во-вторых, математика должна быть свободна от противоречий, т. е. если истинность некоторого утверждения доказана одним методом, то должна быть исключена возможность доказательства отрицания того же самого утверждения другим методом. Гильберт был убежден, что, приняв всего лишь несколько аксиом, можно ответить на любой мыслимый математический вопрос, не опасаясь впасть в противоречие.
8 августа 1900 года Гильберт выступил с историческим докладом на II Международном конгрессе математиков в Париже. Гильберт сформулировал двадцать три проблемы, имевшие, по его мнению, наибольшее значение. Первые из них были посвящены логическим основаниям математики. По замыслу Гильберта, сформулированные им проблемы должны были привлечь внимание математического мира и стать программой будущих исследований. Гильберт хотел гальванизировать математическое сообщество, чтобы оно помогло реализовать его ви́дение математической системы, свободной от сомнений и противоречий — честолюбивый замысел, суть которого Гильберт завещал высечь на своем надгробии:
