Философ Карл Поппер в 1980-е годы.
* * *
Теперь, когда мы знаем, что такое аксиомы и правила вывода, мы можем дать точные определения понятиям «теория», «доказательство» и «теорема», которые на предыдущих страницах более или менее соответствовали привычным представлениям. Доказательство — это процесс, позволяющий получить новые результаты путем применения правил вывода к аксиомам. На практике доказательство представляет собой конечную последовательность утверждений, или высказываний, первое из которых обязательно должно быть аксиомой (в математике нет «чистых листов»!), а каждое из последующих может быть либо аксиомой, либо выводиться из предшествующих высказываний с помощью правил вывода. Последнее высказывание доказательства называется теоремой. Теория — это множество аксиом, правил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил на основе аксиом. В некоторых случаях вместо «теория» мы будем говорить «система аксиом».
До сих пор центром нашего внимания была геометрия Евклида — теория, состоящая из пяти постулатов «Начал», правил вывода, подобных утверждению «равные одному и тому же равны и между собой», и всех теорем о кругах, треугольниках и многоугольниках, которые только может представить себе читатель. Мы также упомянули о неевклидовой геометрии, которая содержит первые четыре постулата геометрии Евклида и отрицание пятого постулата (утверждение, согласно которому через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной). Однако настоящим главным героем этой книги является арифметика — теория, в которой рассматриваются числа, используемые при счете и называемые натуральными.
Аксиомы арифметики
В свете всего вышесказанного для определения арифметики нужно прежде всего найти ее аксиомы. В конце XIX века эти поиски занимали умы многих ученых, поскольку в первой половине столетия их мечтой было описать окружающий мир, а во второй — точно определить, что же такое натуральные числа. А уже на основе этих чисел нетрудно найти определение для других видов чисел, например отрицательных или дробных: так, число —1 получается добавлением знака «минус» к натуральному числу 1 и используется, когда мы хотим указать на различие между двумя направлениями, например на шкале термометра или при движении средств на банковском счете. В свою очередь, 2/3 получается делением 2 на 3 и используется, когда одно число нельзя нацело разделить на другое. Но как определить числа, не определяемые на основе других?
Ученые давали различные ответы на этот вопрос. Георг Кантор (1845–1918) предложил определять натуральные числа как числа, описывающие количество элементов множества, однако, как вы увидите в следующей главе, это «лекарство» только ухудшило положение «больного». Неудача Кантора, несомненно, обрадовала его заклятого врага Леопольда Кронекера (1823–1891), для которого вопрос об описании натуральных чисел был закрыт с формулировкой: «Бог создал натуральные числа. Всё остальное — работа человека». Джузеппе Пеано (1858–1932) был не настолько экзальтированным и предложил новую точку зрения, которую впервые представил в 1889 году в книге под названием «Начала арифметики, изложенные новым методом». До настоящего момента, рассуждал Пеано, предпринимались попытки сначала определить натуральные числа, а затем найти аксиомы, на основе которых можно было бы доказать теоремы. Почему бы не поступить наоборот? Сначала можно составить перечень аксиом, затем определить числа как объекты, удовлетворяющие им, и, возможно, в числе этих объектов будут не только привычные нам числа.
Обложка книги Джузеппе Пеано «Начала арифметики, изложенные новым методом».
Этот хитроумный шаг позволил Пеано возвести здание арифметики на основе всего пяти аксиом, пятая из которых, известная как аксиома индукции, вновь оказалась немного сложнее остальных. В основу новой арифметики легли особое число ноль и операция, ставящая в соответствие каждому натуральному числу другое, которое называется следующим за ним. Далее этот итальянский математик предложил описать на этом языке натуральные числа как объекты, обладающие следующими свойствами:
1) ноль есть натуральное число;
2) число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3) ноль не следует ни за каким натуральным числом;
4) всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом;
5) если множество А содержит ноль и содержит следующее число для любого числа, принадлежащего этому множеству, то А содержит все натуральные числа.
Первая теорема, которую можно доказать на основе аксиом Пеано, гласит, что единица отлична от нуля, однако сначала нужно объяснить, что такое «единица». Внимательно изучив доказательство этой теоремы, можно получить представление о том, как работать с аксиомами и правилами вывода. Как мы уже говорили, доказательство того, что единица отлична от нуля, обязательно должно начинаться с аксиомы, каковой является аксиома Пеано: «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1). Затем можно использовать другую аксиому или высказывание, получаемое из предыдущих согласно логическому правилу вывода.
На этом шаге мы выберем аксиому, которая звучит так: «Ноль есть натуральное число» (2). Теперь с помощью modus ponens из двух первых утверждений: «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» и «ноль есть натуральное число» — выведем третье высказывание доказательства: «существует число, следующее за нулем» (3). Для краткости будем называть это число единицей и будем обозначать его 1. На этом шаге можно перезаписать аксиому № 3, заменив ее эквивалентной формулировкой: «если число — ноль, то оно не является следующим ни для какого числа» (4), и применить высказывание (3), которое мы уже доказали выше и которое гласит: «следующее за нулем число есть единица». Использовав modus tollens, получим: «Если число — ноль, оно не является следующим ни для какого числа. Единица — следующее за нулем число, следовательно, единица — это не ноль». Именно так звучит наша теорема: «Единица отлична от нуля» (3).
Теперь, доказав, что ноль и единица — различные числа, мы можем задуматься: образуют ли объекты, удовлетворяющие аксиомам Пеано, бесконечный ряд, иными словами, существует ли бесконечно много натуральных чисел? Мы ведь знаем, что каждое число отличается от всех предыдущих. Именно здесь крайне важна аксиома индукции, которая позволяет доказывать теоремы обо всех натуральных числах, не рассматривая каждое из них конкретно. Чтобы понять, в чем заключается принцип индукции, представьте себе числа как последовательность костяшек домино, из которых мы выбрали несколько и подтолкнули их. Аксиома индукции подтверждает ожидания читателя: если мы подтолкнем первую костяшку в ряду и если при падении каждой костяшки будет падать следующая за ней, то после того как упадет первая костяшка, упадут и все остальные.
После того как мы доказали, что существует натуральное число, отличное от нуля, которое называется единицей, эти же рассуждения можно повторить и показать, что существует еще одно число, отличное от нуля и единицы. И действительно, «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1) и «единица есть натуральное число» (2). Применив modus ponens, получим, что «существует число, следующее за единицей» (3). Это число мы назовем двойкой. Согласно аксиоме № 4, «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом» (4). Наша теорема гласит, что «ноль и единица — различные числа» (3), таким образом, вновь применив modus ponens, имеем: «число, следующее за нулем, отличается от числа, следующего за единицей» (6), и этими числами, о которых идет речь, являются единица и двойка. С другой стороны, двойка и ноль — различные числа, так как двойка следует за единицей, а ноль не следует ни за каким натуральным числом.
Если мы повторим эти же рассуждения, заменив единицу на двойку, то докажем, что существует натуральное число, которое мы назовем «три» и которое отличается от всех уже упомянутых, то есть от нуля, единицы и двойки. Повторив эти же рассуждения достаточное число раз, можно доказать, что конкретное число, например 1729, отличается от следующего за ним и от всех предыдущих. Благодаря аксиоме индукции, чтобы доказать утверждение «всякое натуральное число отличается от следующего», достаточно доказать, что единица отличается от нуля (иными словами, что падает первая костяшка домино) и что это же утверждение верно для произвольного конкретного числа и следующего за ним (другими словами, что при падении костяшки домино падает и следующая за ней).
