Объяснить этот закон удалось лишь в 1995–1996 годах, и сделал это математик из Технологического института в Джорджии Тед Хилл. Хилл заинтересовался законом Бенфорда в начале девяностых, когда готовил доклад о сюрпризах вероятности. Вот как он вспоминал об этом в беседе со мной: «Я начал работать над этой задачей для развлечения, однако многие коллеги предупреждали меня, что надо быть осторожным, поскольку закон Бенфорда вызывает наркотическое привыкание». После нескольких лет работы Теда наконец осенило, что не нужно рассматривать числа из одного конкретного источника: главное – это смесь данных. Хилл переформулировал закон Бенфорда статистически в новой форме: «Если распределения подбираются случайно (любым непредвзятым способом) и из каждого распределения выбираются случайные образцы, то частота встречаемости цифр на значимом месте в смеси образцов сходится к распределению Бенфорда, даже если некоторые отдельные выбранные распределения не подчиняются этому закону». Иными словами, предположим, что вы собрали случайный набор чисел из мешанины распределений – например, из таблицы квадратных корней, таблицы смертности в сенсационных авиакатастрофах, населения округов и расстояний между теми или иными городами на планете по воздуху. Некоторые эти распределения сами по себе не будут подчиняться закону Бенфорда, но Хилл доказал, что чем больше вы соберете подобных чисел, тем ближе встречаемость цифр в этих числах будет к предсказанной законом Бенфорда. Так почему же этому закону подчиняются и числа Фибоначчи? Ведь они-то строго определены рекурсивным соотношением, это не случайные образцы из случайных распределений.
Так вот, в этом случае выясняется, что соответствие закону Бенфорда свойственно не только числам Фибоначчи, но и другим подобным последовательностям. Если исследовать большой массив различных степеней двойки (21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 и т. д.), станет видно, что они тоже подчиняются закону Бенфорда. Удивляться этому не следует, если учесть, что сами по себе числа Фибоначчи – это степени золотого сечения (вспомним, что n-ное число Фибоначчи близко к φn/√5). В сущности, можно доказать, что закону Бенфорда подчиняются последовательности, заданные большим классом рекурсивных соотношений.
Закон Бенфорда – очередной поразительный пример того, как чистая математика превращается в прикладную. В числе прочих занятных способов применения этого закона – выявление подделки и фабрикации данных в бухгалтерии и при уклонении от налогов. Данные из самых разных финансовых документов всегда очень хорошо соответствуют закону Бенфорда. А сфабрикованные данные – очень редко. Хилл доказал, как работает этот метод выявления мошенничества, на одном простом примере при помощи теории вероятности. На первом занятии своего курса по теории вероятностей Хилл просит студентов провести эксперимент. Если девичья фамилия их матери начинается с букв от А до L, они должны подбросить монетку 200 раз и записать результат – сколько было орлов и сколько решек. Остальным студентам предлагается подделать результат 200 бросков монетки, то есть создать случайную последовательность орлов и решек. На следующем занятии Хилл собирает результаты и очень быстро определяет, где результат подлинный, а где поддельный, и в 95 % случаев не ошибается. Как ему это удается? В любой последовательности из 200 бросков монетки, если ее действительно бросали, с большой вероятностью попадается по шесть орлов или шесть решек подряд. А когда кто-то пытается подделать последовательность из 200 бросков монетки, им кажется, что такого уж точно не может быть.
Недавно закон Бенфорда применили для выявления финансовых махинаций в одном американском туристическом бюро. Директор по аудиту обнаружил что-то странное в отчете начальника отдела медицинского страхования компании. Первые две цифры в суммах выплат на медицинскую страховку, когда эти данные проверили на соответствие закону Бенфорда, почему-то тяготели к 65 (более подробно о том, как закон предсказывает и вторую и далее цифры, см. в Приложении 9). Тщательный аудит выявил тринадцать поддельных чеков на суммы от 6500 до 6599 долларов. В управлении окружного прокурора в нью-йоркском районе Бруклин при помощи проверок на основе закона Бенфорда также выявили бухгалтерские подделки в семи нью-йоркских фирмах.
Закон Бенфорда состоит именно из тех ингредиентов, которые так по вкусу большинству математиков. Он отражает простой, но поразительный факт: распределение цифр на первом месте в числе подчиняется вполне конкретной закономерности. Более того, этот факт еще и трудно объяснить. Но иногда числа приносят радость, которой не приходится долго ждать. Например, многие математики, как любители, так и профессионалы, очень увлекаются простыми числами. Почему же простые числа так важны? Потому что «Фундаментальная теорема арифметики» гласит, что любое целое число больше единицы можно выразить произведением простых чисел (обратите внимание, что 1 считается простым числом). Например, 28 = 2 × 2 × 7, а 66 = 2 × 3 × 11 и т. д. Простые числа так глубоко укоренились в человеческом понимании математики, что Карл Саган (1934–1996) в своей книге «Космос», когда ему надо было описать, какого типа сигнал разумная цивилизация передала бы в космос, избрал для этого, в частности, последовательность простых чисел: «Крайне маловероятно, чтобы какой-нибудь естественный физический процесс генерировал радиосообщение, содержащее только простые числа. Получив подобное сообщение, мы можем заключить, что где-то есть цивилизация, которая любит простые числа» (пер. А. Сергеева). Великий Евклид более двух тысяч лет назад доказал, что простых чисел существует бесконечно много (это изящное доказательство приведено в Приложении 10). Однако большинство любителей простых чисел согласны, что среди них попадаются особенно интересные. Некоторые математики, например, француз Франсуа Ле Лионне и американец Крис Колдуэлл, вели списки «примечательных» или «титанических» чисел. Приведу несколько занятных примеров из великой сокровищницы простых чисел.
– Число 1 234 567 891, представляющее собой «цикл» всех цифр, – тоже простое число.
– 230-е простое число, в котором 6400 цифр, состоит из 6399 девяток и всего одной восьмерки.
– Число, состоящее из 317 повторений цифры 1, простое.
– 713-е простое число можно записать как 101951 × (101975 + 1991991991991991991991991) + 1, и открыли его – вы угадали – в 1991 году.
В контексте этой книги особенно интересно проследить связь между простыми числами и числами Фибоначчи. Все простые числа в последовательности Фибоначчи, кроме 3, стоят в ряду на местах, чей номер – тоже простое число. Например, число Фибоначчи 213 – простое число и в последовательности занимает тринадцатое место – тоже простое число. А вот обратное неверно: если номер числа в последовательности Фибоначчи – простое число, само оно не обязательно простое. Например, 19 член последовательности (19 – простое число) – это число 4181, а 4181 не простое число, оно равно 113 × 37.
Количество простых чисел Фибоначчи, которые нам удалось узнать, с годами неуклонно растет. В 1979 самое большое простое число Фибоначчи занимало 531 место в последовательности. К середине девяностых самое большое известное простое число Фибоначчи было уже на 2971 месте, а в 2001 году было доказано, что член последовательности номер 81 839, состоящий из 17 103 цифр, тоже простое число. Так что же, выходит, простых чисел Фибоначчи бесконечно много, как бесконечно много простых чисел как таковых? Это неизвестно – и, пожалуй, это величайшая математическая загадка без ответа, связанная с числами Фибоначчи.
Непостижимое могущество математики
Философско-эстетические взгляды великого поэта и драматурга Оскара Уайлда (1854–1900) отражены в сборнике диалогов «Замыслы». Особенно провокационное изложение идей Уайлда о «новой эстетике» мы находим в диалоге «Упадок искусства лжи». В заключение диалога Вивиан, героиня диалога, подводит его итог следующим образом:
Жизнь имитирует Искусство куда больше, чем Искусство – Жизнь. Это происходит не только из-за природной тяги Жизни к подражанию, но также из-за осознанного стремления Жизни к самовыражению при том, что Искусство дает ей определенный набор красивых форм для реализации этой энергии. Эта теория еще никем не выдвигалась, но она необычайно продуктивна и позволяет увидеть историю Искусства в совершенно новом свете.
Очевидным следствием этого утверждения является то, что внешняя Природа также подражает Искусству. Она может показать нам только те эффекты, которые мы сначала увидели в картинах или стихах. В этом заключается секрет очарования Природы и объяснение ее слабости.
(Пер. А. Махлиной)Мы вполне могли бы заменить в этом отрывке слово «Искусство» словом «Математика» – и получить утверждение, отражающее реальность, которой отчаянно сопротивляются многие выдающиеся умы. Дело в том, что слишком уж эффективна математика на первый взгляд. По словам Эйнштейна, «Как так получается, что математика, продукт человеческой мысли, независимой от опыта, так прекрасно соответствует объектам физической реальности?» Другой выдающийся физик Юджин Вигнер (1902–1995), известный своим огромным вкладом в ядерную физику, в 1960 году прочитал знаменитую лекцию под названием «Непостижимое могущество математики в естественных науках». Например, нам стоит задаться вопросом, почему же так вышло, что планеты, как выяснилось, вращаются вокруг Солнца по кривой (эллипсу), которую изучили греческие геометры задолго до открытия законов Кеплера, и почему объяснение существования квазикристаллов опирается на золотое сечение, то есть на концепцию, которую Евклид придумал для чисто математических целей. И разве не поразительно, что структуры многих галактик, состоящих из миллиардов звезд, достаточно точно повторяют любимую кривую Бернулли – величественную логарифмическую спираль? И самое поразительное: как так получается, что законы физики вообще можно выразить математическими уравнениями?
