Рассмотрим алгоритм простого перебора всех двоичных ключей длины n. Ясно, что таких ключей — 2n, и поэтому в данном алгоритме 2n шагов, т.е. его сложность равна 2n. Это — простейший пример экспоненциального алгоритма (его сложность выражается через n экспонентой). Большинство экспоненциальных алгоритмов — это просто варианты полного перебора.
Рассмотрим теперь алгоритм умножения столбиком двух n-значных чисел. Он состоит из n2 умножений однозначных чисел, т.е. его сложность, измеренная количеством таких умножений, равна n2. Это — простейший пример полиномиального алгоритма (его сложность выражается через n полиномом).
Достаточно очевидно, что для решения одной и той же математической задачи могут быть предложены различные алгоритмы. Поэтому под сложностью задачи понимают минимальную сложность алгоритмов ее решения. Возвращаясь теперь к этюду 1.6, можно сказать в новых терминах, что стойкость шифра — это сложность задачи его вскрытия.
В математике есть много задач, для решения которых пока не удалось построить полиномиальный алгоритм. К ним относится, например, задача коммивояжера: есть n городов, соединенных сетью дорог, и для каждой дороги указана стоимость проезда по ней; требуется указать такой маршрут, проходящий через все города, чтобы стоимость проезда по этому маршруту была минимальной.
Подумайте сами:
1. Можете ли вы предложить алгоритм умножения двух n-значных чисел, требующий меньшего числа умножений однозначных чисел, чем при умножении столбиком?
2.4. Шифры замены и перестановки
В своей работе «Математическая теория секретной связи» Клод Шеннон обобщил накопленный до него опыт разработки шифров. Оказалось, что даже в сложных шифрах в качестве типичных компонентов можно выделить шифры замены, шифры перестановки или их сочетания. Эти шифры можно считать как бы базовыми.
Шифр замены является простейшим, наиболее популярным шифром. Типичными примерами являются шифр Цезаря, «цифирная азбука» Петра Великого и «пляшущие человечки» А. Конан-Дойля. Как видно из самого названия, шифр замены осуществляет преобразование замены букв или других «частей» открытого текста на аналогичные «части» шифрованного текста. Понятно, что, увеличив алфавиты, т.е. объявив «части» буквами, можно любой шифр замены свести к замене букв. Теперь уже легко дать математическое описание шифра замены. Пусть X и Y — два алфавита открытого и соответственно шифрованного текстов, состоящие из одинакового числа символов. Пусть также g : X → Y — взаимно-однозначное отображение X в Y. Это значит, что каждой букве x алфавита X сопоставляется однозначно определенная буква y алфавита Y, которую мы обозначаем символом g(x), причем разным буквам сопоставляются разные буквы. Тогда шифр замены действует так: открытый текст x1x2...xn преобразуется в шифрованный текст g(x1)g(x2)...g(xn). К вопросу о вскрытии шифра замены мы вернемся в этюде 2.8.
Шифр перестановки, как видно из названия, осуществляет преобразование перестановки букв в открытом тексте. Типичным и древнейшим примером шифра перестановки является шифр «Сциталь». Обычно открытый текст разбивается на отрезки равной длины, и каждый отрезок шифруется (т.е. в нем переставляются буквы) независимо. Пусть, например, длина отрезков равна n и σ — взаимно-однозначное отображение множества {1,2, ..., n} в себя. Тогда шифр перестановки действует так: отрезок открытого текста x1...xn преобразуется в отрезок шифрованного текста xσ(1)...xσ(n).
Важной проблемой при практическом использовании шифров замены и перестановки является проблема удобного запоминания отображений g и σ. Ясно, что легко запоминать некоторые отображения: например, отображения «небольших» размеров, отображения, реализуемые каким-нибудь предметом (сциталь в шифре «Сциталь» и т.п.). Если же отображение «большого» размера, то процесс запоминания сильно усложняется. Например, широко известны биграммные шифры. В них преобразовывались биграммы (пары букв). Поскольку количество биграмм превышает 1000, то на практике биграммные шифры выглядят как специальные книжки.
Для облегчения запоминания отображений g и σ изобретались различные хитроумные способы. Правда, «расплатой» за это было упрощение используемых отображений и тем самым уменьшение стойкости шифров.
Популярным способом запоминания отображения σ, т.е. шифра перестановки, является следующий. Пусть, например, n=20. Берем прямоугольную таблицу размера 4x5, вписываем в нее открытый текст «по строкам», а шифрованный текст считываем «по столбцам». Возможны и более хитрые способы вписывания и считывания.
Подумайте сами:
1. Выпишите отображение g для шифра Цезаря.
2. Выпишите отображение σ для описанного шифра перестановки — прямоугольника 4×5.
2.5. Возможен ли абсолютно стойкий шифр
Да, и единственным таким шифром является какая-нибудь форма так называемой ленты однократного использования, в которой открытый текст «объединяется» с полностью случайным ключом такой же длины, Этот результат был доказан К. Шенноном с помощью разработанного им теоретико-информационного метода исследования шифров. Мы не будем здесь останавливаться на этом подробно, но заинтересованному читателю рекомендуем изучить работу К. Шеннона, она указана в списке литературы.
Обсудим особенности строения абсолютно стойкого шифра и возможности его практического использования. Типичным и наиболее простым примером реализации абсолютно стойкого шифра является шифр Вернама, который осуществляет побитовое сложение n-битового открытого текста и n-битового ключа: yi=x1⊕ki, i=1, ..., n.
Здесь x1, ..., xn — открытый текст, k1, ..., kn — ключ, y1, ..., yn — шифрованный текст; символы складываются по таким правилам: 0⊕0=0, 0⊕1=1⊕0=1, 1⊕1=0.
Подчеркнем теперь, что для абсолютной стойкости существенным является каждое из следующих требований к ленте однократного использования:
1) полная случайность (равновероятность) ключа (это, в частности, означает, что ключ нельзя вырабатывать с помощью какого-либо детерминированного устройства);
2) равенство длины ключа и длины открытого текста;
3) однократность использования ключа.
В случае нарушения хотя бы одного из этих условий шифр перестает быть абсолютно стойким и появляются принципиальные возможности для его вскрытия (хотя они могут быть трудно реализуемыми).
Но, оказывается, именно эти условия и делают абсолютно стойкий шифр очень дорогим и непрактичным. Прежде чем пользоваться таким шифром, мы должны обеспечить всех абонентов достаточным запасом случайных ключей и исключить возможность их повторного применения. А это сделать необычайно трудно и дорого. Как отмечал Д. Кан: «Проблема создания, регистрации, распространения и отмены ключей может показаться не слишком сложной тому, кто не имеет опыта передачи сообщений по каналам военной связи, но в военное время объем передаваемых сообщений ставит в тупик даже профессиональных связистов. За сутки могут быть зашифрованы сотни тысяч слов. Создание миллионов ключевых знаков потребовало бы огромных финансовых издержек и было бы сопряжено с большими затратами времени. Так как каждый текст должен иметь свой собственный, единственный и неповторимый ключ, применение идеальной системы потребовало бы передачи, по крайней мере, такого количества знаков, которое эквивалентно всему объему передаваемой военной информации».
В силу указанных причин, абсолютно стойкие шифры применяются только в сетях связи с небольшим объемом передаваемой информации, обычно это сети для передачи особо важной государственной информации.
2.6. Стойкость теоретическая и практическая
Теперь мы уже понимаем, что чаще всего для защиты своей информации законные пользователи вынуждены применять неабсолютно стойкие шифры. Такие шифры, по крайней мере теоретически, могут быть вскрыты. Вопрос только в том, хватит ли у противника сил, средств и времени для разработки и реализации соответствующих алгоритмов.
