Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

В то лето Уайлсу и Тейлору не удалось продвинуться ни на шаг. После восьми лет непрестанных усилий — несмотря на то, что поиск доказательства стал делом его жизни, Уайлс был на грани того, чтобы признать свое поражение. Он сообщил Тейлору, что не видит смысла продолжать их совместные усилия по исправлению доказательства. Тейлор к тому времени уже принял решение провести сентябрь в Принстоне прежде, чем возвращаться в Кембридж, и поэтому, несмотря на то, что Уайлс пал духом, Тейлор предложил поработать над проблемой еще месяц. Если к концу сентября выяснится, что никаких признаков успеха нет, они публично признают поражение и опубликуют доказательство в том виде, в каком оно есть, чтобы предоставить другим возможность найти и исправить вкравшуюся ошибку.

Хотя сражение, которое Уайлс вел с самой трудной математической проблемой мира, по-видимому, было обречено на поражение, он мог, оглянувшись на семь последних лет, утешить себя сознанием того, что все же он достиг неплохих результатов.

Если не считать заключительной части, связанной с использованием метода Колывагина-Флаха, остальная работа Уайлса сомнений не вызывала. Гипотеза Таниямы-Шимуры и Великая теорема Ферма могли оставаться недоказанными, тем не менее Уайлс обогатил математику целой серией новых методов и стратегий, которые можно было использовать для доказательства других теорем. В том, что Уайлс потерпел неудачу, не было ничего постыдного, и он начал привыкать к такому положению дел.

В качестве слабого утешения Уайлс хотел по крайней мере понять, почему он потерпел поражение. Пока Тейлор еще и еще раз подвергал тщательному анализу альтернативные методы, Уайлс решил посвятить сентябрь изучению метода Колывагина-Флаха, чтобы понять, почему он не работает. Он живо вспоминает те роковые дни: «В понедельник 19 сентября я с утра сидел у себя в кабинете, изучая метод Колывагина-Флаха. Я не надеялся на то, что мне удастся заставить его заработать, но хотел по крайней мере выяснить, почему этот метод не срабатывает. Я понимал, что хватаюсь за соломинку, но хотел до конца разобраться в причинах постигшей меня неудачи. Внезапно, совершенно неожиданно, на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина-Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Мне стало ясно, что от метода Колывагина-Флаха я могу взять все необходимое для того, чтобы сделать эффективным мой первоначальный подход трехлетней давности. Так из руин и пепла метода Колывагина-Флаха возникло правильное решение проблемы».

Теория Ивасавы сама по себе была недостаточна. Метод Колывагина-Флаха сам по себе также был недостаточен. Но взятые вместе, они идеально дополняли друг друга. Этот момент, когда на него снизошло прозрение, Уайлс не забудет никогда. Когда он вспоминает те мгновения, картины прошлого оживают настолько ярко, что он едва удерживает слезы: «Решение было неописуемо прекрасно, такое простое и изящное. Я никак не мог взять в толк, почему оно не приходило мне в голову раньше. Не веря самому себе, я минут двадцать молча таращился на него. На следующий день я обошел моих коллег по математическому факультету и пригласил их заглянуть ко мне в кабинет и посмотреть, все ли в порядке с найденным мной накануне решением. С решением все было в порядке. Я был вне себя от возбуждения. Это был самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Ничто из того, что мне суждено свершить, не могло сравниться с переживаемым моментом».

Момент действительно был необычайно важным: не только исполнилась мечта детства Уайлса, не только достигнута кульминация восьми лет напряженнейшей работы, но и сам Уайлс, казалось, находившийся на грани поражения, еще раз заявил о себе как о выдающемся математике. Последние четырнадцать месяцев были особенно мучительным, унизительным и отчаянным периодом в его математической карьере. И теперь блестящее озарение положило конец всем страданиям.

«В первый вечер я отправился домой и заснул у себя в кабинете над найденным решением. На следующее утро к 11 часам я убедился, что все в порядке. Тогда я спустился вниз и сказал жене: "Я нашел его! Думаю, что мне удалось найти его". Мое заявление прозвучало так неожиданно, что жена решила, будто я говорю о какой-то детской игрушке. Тогда я объяснил, что мне удалось исправить свое доказательство».

Первая страница доказательства теоремы Ферма, представленного Уайлсом

This chapter is devoted to the study of certain Galois representations. In the first section we introduce and study Mazur's deformation theory and discuss various refinements of it. These refinements will be needed later to make precise the correspondence between the universal deformation rings and the Hecke rings in Chapter 2. The main results needed are Proposition 1.2 which is used to interpret various generalized cotangent spaces as Selmer groups and (1.7) which later will be used to study them. At the end of the section we relate these Selmer groups to ones used in the Bloch—Kato conjecture, but this connection is not needed for the proofs of our main results.

In the second section we extract from the results of Poitou and Tate on Galois cohomology certain general relations between Selmer groups as Σ varies, as well as between Selmer groups and their duals. The most important observation of the third section is Lemma 1.10(i) which guarantees the existence of the special primes used in Chapter 3 and [TW].

Let p be an odd prime. Let Σ be a finite set of primes including p and let QΣ be the maximal extension of Q unramified outside this set and ∞. Throughout we fix an embedding of Q, and so also of QΣ, in C. We will also fix a choice of decomposition group Dq for all primes q in Z. Suppose that k is a finite field of characteristic p and that

(1.1)

ρ0: Gal(QΣ/Q) → GL2(k)

is an irreducible representation. In contrast to the introduction we will assume in the rest of the paper that ρ0 comes with its field of definition k. Suppose further that det ρ0 is odd. In particular this implies that the smallest field of definition for ρ0 is given by the field k0 generated by the traces but we will not assume that k = k0. It also implies that ρ0 is absolutely irreducible. We consider the deformations [ρ] to GL2(A) of ρ0 in the sense of Mazur [Ma1]. Thus if W(k) is the ring of Witt vectors of k, A is to be a complete Noetherian local W(k)-algebra with residue field k and maximal ideal m, and a deformation [ρ] is just a strict equivalence class of homomorphisms ρ: Gal(QΣ/Q) → GL2(A) such that ρ mod m = ρ0, two such homomorphisms being called strictly equivalent if one can be brought to the other by conjugation by an element of ker: GL2(A) → GL2(k). We often simply write ρ instead of [ρ] for the equivalence class.

В следующем месяце Уайлс, наконец, смог исполнить обещание, которое ему не удалось исполнить в прошлом году. «Приближался день рождения Нады, и я вспомнил, что в прошлый раз я не смог подарить ей то, что она хотела получить в подарок. На этот раз, через полминуты после начала праздничного обеда по случаю ее дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства. Думаю, что этому подарку она была рада больше, чем любому другому, который я когда-либо дарил ей».

Дата: 25 окт 1994 11:04:11

Тема: Последние новости о великой теореме Ферма

Этим утром поступили две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлса и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлса.

Первая из них (большая) содержит среди прочего доказательство великой теоремы Ферма, использующее в одном решающем шаге вторую (малую).

Как известно большинству из вас, в доказательстве, изложенном в кембриджских докладах Уайлса, оказался серьезный пробел, а именно: построение эйлеровской системы. После безуспешных попыток исправить эту конструкцию, Уайлс обратился к другим подходам, которые он использовал раньше, но от которых отказался в пользу идеи эйлеровской системы. Уайлсу удалось восполнить пробел в своем доказательстве в предположении, что некоторые алгебры Гекке представляют собой локально полные пересечения. Эта и остальные идеи, бегло описанные в кембриджских докладах Уайлса, изложены в первой рукописи. В совместной работе Тейлор и Уайлс (вторая статья) установили необходимое свойство алгебр Гекке. Общий ход доказательства аналогичен намеченному Уайлсом в его кембриджских докладах. Новый подход гораздо проще и короче первоначального, поскольку изъята система Эйлера. (После изучения обеих работ Фалтингсу удалось еще более упростить эту часть доказательства.) Варианты представленных рукописей попали в руки небольшого числа людей (в некоторых случаях) в течение нескольких недель. И хотя разумно сохранять осторожность, основания для оптимизма заведомо имеются.

Карл Рубин

Университет штата Огайо