Отказавшись от таких понятий, как длина и угол, топологи могут отличать объекты по таким свойствам, как число точек пересечения, которыми обладает объект. По точкам пересечения восьмерка существенно отличается от окружности, так как у восьмерки имеется точка, где пересекаются четыре линии, тогда как у окружности точек пересечения нет вообще. Сколько бы мы ни растягивали и ни изгибали восьмерку, ее невозможно превратить в окружность. Топологи занимаются также изучением трехмерных объектов (и даже объектов более высокой размерности), у которых их внимание привлекают такие фундаментальные свойства, как дыры, петли и узлы.
Математики надеялись, что рассматривая карты через упрощающие линзы топологии, они сумеют постичь самую суть проблемы четырех красок. Первый успех пришел в 1925 году, когда Филип Франклин, оставив в стороне общую проблему четырех красок, сумел доказать, что для раскрашивания любой карты, содержащей не более 25 областей, требуются только четыре краски. Другие математики попытались использовать метод Франклина, и в 1926 году Рейнольдс обобщил доказательство Франклина, сумев довести число областей до 27. В 1940 году Винн распространил доказательство на карты с 35 областями, а в 1970 году Оре и Стемпл увеличили число областей до 39. Казалось, история проблемы четырех красок повторяет историю Великой теоремы Ферма: продвижение к бесконечно многим областям происходило медленно. В правильности исходной гипотезы Гатри почти не было сомнений, но до тех пор, пока не получено доказательство для общего случая, всегда оставалась возможность, что кому-нибудь все же удастся начертить карту, которая опровергнет эту гипотезу. И, действительно, в 1975 году известный популяризатор науки и многолетний ведущий раздела «Математические игры» журнала «Scientific American» Мартин Гарднер опубликовал карту, для раскрашивания которой якобы требовались пять красок. Однако номер журнала «Scientific American» вышел 1 апреля, а Гарднер был великолепно осведомлен о том, что хотя раскрасить его карту четырьмя красками довольно трудно, но отнюдь не невозможно. Возможно, вы захотите попробовать сделать это сами. Карта, о которой идет речь, изображена на рис. 28.
Рис. 28.
Со временем становилось ясно, что традиционные подходы не позволяют преодолеть пропасть, отделяющую предложенное Оре и Стемплом доказательство для карт, содержащих не более 39 областей, от доказательства для любых карт, возможно, состоящих из бесконечно большого числа областей. И вот в 1976 году два математика из Иллинойского университета, Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, предложили новый метод, перевернувший традиционные представления о математическом доказательстве.
Хакен и Аппель изучили работу Генриха Хееша, утверждавшего, что из некоторого конечного числа карт, содержащих конечное число областей, можно построить бесконечное множество разнообразнейших карт. Изучение карт, составленных из таких строительных блоков, позволяет составить представление о том, как следует искать подходы к решению общей проблемы четырех красок. Основные карты можно рассматривать как эквиваленты электрона, протона и нейтрона — фундаментальных «кирпичиков», из которых построено все остальное. Хакену и Аппелю удалось свести проблему четырех красок «всего лишь» к 1482 конфигурациям, служащим теми строительными блоками, из которых можно составить любую карту. Если бы Хакен и Аппель смогли доказать, что каждый из этих строительных блоков может быть раскрашен четырьмя красками, то из этого следовало бы, что все карты также могут быть раскрашены в четыре краски.
Разумеется, проверка всех 1482 карт и перебор различных комбинаций раскраски каждой из них — задача необычайно громоздкая и трудоемкая, заведомо выходящая за рамки возможностей любой группы математиков. Даже при использовании компьютера перебор возможных вариантов мог бы затянуться на столетие. Но Хакен и Аппель не пали духом и принялись разыскивать удачные ходы и стратегии, использование которых позволило бы ускорить проверку карт и вариантов их раскрашивания. В 1975 году, через пять лет после того как они приступили к работе над проблемой четырех красок, Хакен и Аппель стали свидетелями, что компьютер не только выполняет вычисления, но и делает нечто большее, а именно привносит в работу новые идеи. Хакен и Аппель вспоминают поворотный пункт в их исследовании: «Когда мы дошли до этого пункта, программа начала удивлять нас. Первое время мы проверяли от руки все ее вычисления и могли всегда предсказать, как она будет работать в любой ситуации; но теперь она неожиданно повела себя, как шахматная машина. Программа стала выдавать составные стратегии, используя всевозможные трюки, которым она «научилась», и часто предлагаемые программой подходы оказывались более умными, чем те, которые могли предложить мы сами. Так программа стала учить нас, как действовать, чего мы от нее никак не ожидали. В каком-то смысле программа превзошла нас, ее создателей, не только в механической, но и в «интеллектуальной» части работы».
В июне 1976 года, затратив 1200 часов машинного времени, Хакен и Аппель заявили во всеуслышание, что им удалось проанализировать все 1482 карты и для раскрашивания ни одной из них не требуется более четырех красок. Проблема четырех красок Гатри была наконец решена. Следует особенно подчеркнуть, что решение проблемы четырех красок стало первым математическим доказательством, в котором роль компьютера не сводилась к ускорению вычислений, — компьютер привнес в решение проблемы нечто гораздо большее: его роль была столь значительной, что без компьютера получить доказательство было бы невозможно. Решение проблемы четырех красок с помощью компьютера было выдающимся достижением, но в то же время оно вызвало у математического сообщества чувство тревоги, так как проверка доказательства в традиционном смысле не представлялась возможной.
Прежде, чем опубликовать решение Хакена и Аппеля на страницах «Illinois Journal of Mathematics», редакторам было необходимо подвергнуть его тщательному рецензированию в каком-то не известном ранее смысле. Традиционное рецензирование было невозможно, поэтому было решено ввести программу Хакена и Аппеля в независимый компьютер с тем, чтобы убедиться, что результат останется тем же.
Такое нестандартное рецензирование привело в ярость некоторых математиков, утверждавших, будто компьютерная поверка неадекватна, так как не дает гарантии от внезапного отказа в недрах компьютера, который может стать причиной сбоя в логике. X.П.Ф. Суиннертон-Дайер высказал следующее замечание по поводу компьютерных доказательств: «Когда теорема доказана с помощью компьютера, невозможно изложить доказательство в соответствии с традиционным критерием — так, чтобы достаточно терпеливый читатель смог шаг за шагом повторить доказательство и убедиться в том, что оно верно. Даже если бы кто-нибудь взял на себя труд распечатать все программы и все данные, использованные в доказательстве, нельзя быть уверенным в абсолютно правильной работе компьютера. Кроме того, у любого современного компьютера по каким-то неясным причинам могут быть слабые места как в программном обеспечении, так и в электронном оборудовании, которые могут приводить к сбоям так редко, что остаются необнаруженными на протяжении нескольких лет, и поэтому в работе каждого компьютера могут быть незамеченные ошибки».
До какой-то степени поведение математического сообщества, предпочитавшего избегать компьютеров вместо того, чтобы их использовать, можно рассматривать как своего рода паранойю. Джозеф Келлер как-то заметил, что в его университете (Стэнфорде) математический факультет имел меньше компьютеров, чем любой другой факультет, в том числе факультет французской литературы. Те математики, которые отказались признать работу Хакена и Аппеля, не могли отрицать, что все математики соглашались принимать традиционные доказательства, даже если они сами не проверяли их. В случае доказательства Великой теоремы Ферма, представленного Уайлсом, менее 10 % специалистов по теории чисел полностью понимали его рассуждения, но все 100 % сочли, что доказательство правильное. Те, кто не смог до конца понять все тонкости доказательства, приняли его потому, что доказательство признали другие—те, кто все понял, шаг за шагом проследил весь ход доказательства и проверил каждую деталь.
Еще более ярким примером может служить так называемое доказательство классификации конечных простых групп, состоящее из 500 отдельных работ, написанных более чем сотней математиков. Говорят, что полностью разобрался в этом доказательстве (общим объемом в 15000 страниц) один-единственный человек на свете — скончавшийся в 1992 году Дэниэл Горенстейн. Тем не менее, математическое сообщество в целом могло быть спокойным: каждый фрагмент доказательства был изучен группой специалистов, и каждая строка из 15000 страниц была десятки раз проверена и перепроверена. Что же касается проблемы четырех красок, то с ней дело обстояло иначе: она никем не была и не будет полностью проверена.
