Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Было бы справедливо послушать самого Канта, прежде чем переходить к опровержениям. Достаточно и нескольких выдержек. Он начал с объяснения: «Я вспоминаю все доклады, где нет ни слова объяснения восприятию понятия «чистая». Чистая форма всех чувственных интуиций, та форма, в которой просматриваются несколько элементов этого феномена, выстроенных в определенном порядке, априори должна быть найдена в разуме. И эта чистая форма чувственности может быть названа чистой интуицией». После ряда дальнейших толкований определений Кант декларирует: «В ходе данного исследования станет ясно, что существуют две чистые формы чувственной интуиции как принципов априорного знания, Пространство и Время. Что такое, – спрашивает он дальше, – Пространство и Время? Они реальны? А если нет, они формы или отношения вещей, но такие, какие присущи им, даже если они перестанут восприниматься? Или они есть формы или отношения, присущие исключительно форме интуиции и, следовательно, субъективной реальности нашего разума, без которых такие понятия, как пространство и время, никогда не получится отнести к чему-либо?»

Прежде чем услышать ответы Канта на данные вопросы, обратимся за двумя разъяснениями к словарю. «Кант… считал, что априорное знание состоит из конкретных «допущений» (как пространство и время) и принципов понимания, которые предположительно необходимы, чтобы опыт в целом стал интеллигибельным (постижимым умом)». Это устанавливает постоянно циркулирующую a priori, к которой обращается Кант. Другое техническое слово «аподиктический», которое означает «вовлекающий или выражающий неопровержимую истину, абсолютно верную, а также способную быть продемонстрированной ясно и удобно». Считая, что эти смысловые определения ясны (хотя едва ли такие четкие, как те, что приняты в элементарной геометрии, к которой адресует их Кант), постараемся понять, что же он хотел сказать. Ниже мы приводим изложенные Кантом выводы в четырех обобщенных предположениях, из которых нам необходимо взять только основное.

1. «Пространство не есть эмпирическое понятие, которое появляется из опыта… Образно пространство не может быть взято через опыт из отношений внешнего феномена, но, напротив, внешний феномен становится возможным только через представление о пространстве».

2. «Пространство есть априорное необходимое представление, фомирующее каждое обоснование всех внешних интуиций… Пространство, таким образом… есть условие возможности феномена, а не… форма созданного ими. Это априорное представление, которое необходимо предвосхищает внешний феномен».

Поскольку следующий текст достаточно сложен и ложен в деталях в свете современного знания, то приведем его полностью.

3. «По этой необходимости априорного представления пространство противостоит аподиктической несомненности всех геометрических принципов и возможности их априорного создания. Если интуиция пространства стала концепцией, полученной апостериори (a posteriori), только из общего внешнего опыта, первые принципы математических дефиниций становятся не чем иным, как перцепциями. Они будут распространены на все издержки перцепций, и, например, существование только одной прямой линии между двумя точками станет не необходимостью, а только чем-то полученным из опыта в каждом конкретном случае. Что бы ни было получено из опыта, оно будет обладать только соответствующей обобщенностью, основанной на умозаключении. Таким образом, мы не сможем сказать больше, поскольку до настоящего времени никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного».

Мы еще вернемся к некоторым положениям. Четвертый и последний вывод Канта мало что добавляет к первым трем.

4. «Пространство есть… чистая интуиция… Интуиция, которая априори не основана на опыте, должна сформировать обоснование всех концепций пространства. Тем же путем все геометрические принципы (например, «любые две стороны треугольника вместе больше третьей стороны») никогда не могли быть получены из общей концепции стороны или треугольника, но формируют интуицию, и это априорно с аподиктической верностью».

Это (по Канту) восприятие пространства и геометрии, с его априорными интуициями и его аподиктическими истинами, длительное время воспринималось как окончательное среди многочисленных метафизиков. Кант сформулировал похожую доктрину чисел и арифметики. Обе не заслуживают внимания в данной работе, поскольку не имеют ничего общего с математическим фактом. Его априорное «время» пошло путем его геометрии и арифметики, не потому, что конфликтовало с математикой, которая не связана с рассуждениями на тему природы времени, а потому, что оно опровергается современной экспериментальной и теоретической физикой. Здесь остановимся только на том, что имеет отношение к геометрии Канта.

Кант был уверен, что геометрия состоит из положений (декларативных суждений), которые не зависят от опыта (являются априорными), необходимо справедливых (аподиктичных) и которые содержат фактический материал (то есть синтетичны). Что таких положений нет в математике (или где-либо еще, насколько это известно человечеству) – одно из простейших заключений математической логики наших дней. Ошибка Канта произошла от его непонимания разницы двух абсолютно разных вещей. Читатель придет в замешательство от бесплодной борьбы Канта за объяснение обоих вещей одновременно и одними и теми же словами, если не поймет, что он говорит не об одном понятии, а сразу о двух. Его пара – «физическая геометрия» и «математическая геометрия».

Физическая геометрия в своем прикладном варианте только отчасти эмпирическая наука, созданная затем, чтобы дать связное описание мира чувственного (и научного) опыта. Математическая геометрия – это система постулатов и дедуктивных выводов из них, созданная безотносительно к чувственному опыту или намеренно соотнесенная с ним. Как определяет одна из современных школ математической философии, в математической геометрии «истина» представляется как устойчивая логическая последовательность (свобода от противоречий внутри системы), в физической геометрии «истина» включает приближенное соответствие с наблюдаемым феноменом. Досконально проанализированные предположения математической геометрии «истинны» просто как форма логических предположений. Такие предположения именуются «аналитическими», например: «Сейчас идет дождь» или «Сейчас не идет дождь». Но «Сейчас идет дождь» либо конкретно «фактически истинно», либо «фактически ложно», и какое оно, можно определить, выглянув на улицу. Это предположение имеет фактическое содержание. А первое его не имеет, поскольку ничто не говорит о фактической погоде.

Отличие физической и математической геометрии можно проиллюстрировать неудачным примером Канта в его третьем общем выводе, процитированном выше. Если «прямая линия» определена четко, из этого не следует, что через две точки можно провести единственную прямую ни в математической, ни в физической геометрии. Определение Евклида гласит: «Прямая линия – это линия, которая ровно соединяет крайние точки». И, судя по всему, Кант мог иметь в виду именно это нечеткое интуитивное понятие. После минутного раздумья понимаем, что предполагаемое определение Евклида ничего не определяет вообще. Как часто указывают в школьных геометриях: «Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками». Это определение интуитивно удовлетворительно и полезно, а данное чуть позднее «точке» и «расстоянию» – дается ясное численное определение. Чтобы избежать загадок там, где ничего таинственного нет, «прямая линия» заменяется на «геодезическую». Геодезическая в «пространстве» может быть малым и большим расстоянием между двумя точками в пространстве. (Это достаточно близко к четкому математическому определению для конкретных целей этой книги.) Если пространство рассматривать как поверхность сферы (не то, что поверхность включает, а ее саму), диаметрально противоположные точки могут быть соединены бесконечным множеством таких геодезических прямых (дугами больших окружностей на сфере). «Случайности восприятия», на которые намекает Кант, кажется, создают для него иллюзию, что Земля плоская. Его второй пример: «никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного» – очень давно потерял смысл вместе с появлением возможности строить пространство любой размерности. Наиболее известен пример пространства, имеющего более трех измерений, – полезное в научном плане четырехмерное пространство из теории относительности.

То, что Кант воспел евклидову геометрию как единственно верную истину, оказалось неудачным для продвижения его метафизики. Следствием создания неевклидовых геометрий стало разграничение математической и физической геометрий. Каждая из этих геометрий, в том числе геометрия Евклида, когда устранены очевидные недостатки, самосогласованна, и они не конкурируют между собой. Каждая математически «истинна». А которая физически «истинна»? Как оказалось, для научных задач применение нескольких геометрий вполне разумно и достаточно, но иногда отдельная геометрия полезнее всех остальных для решения конкретной задачи. Каждая «истинна», то есть самосогласованна в абстрактном, логическом или математическом смысле, одна из нескольких «истинна» в физическом смысле для определенного набора задач, но, будучи не согласованы между собой, две не могут быть истинны для того же круга задач. Когда во всем этом разобрались, в начале 1900-х годов, отдельные ученые и математики совместили понятие «истины» с применимостью. Но не было никакой необходимости вносить очередную путаницу в область, из которой наконец-то, после почти двух тысяч лет неверного толкования, была исключена путаница.