Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

До сих пор слово имели только ученые мужи, давайте дадим возможность женщине высказать авторитетное мнение и процитируем отрывки из содержательного обращения (1925) выдающейся англичанки, геометра Хильды Фоэб Хадсон (Hilda Phoebe Hudson):

«Для всех нас, христиан, вера в то, что Бог есть истина, все, что истинно, есть факт в пользу Бога, а математика – лишь раздел теологии…»

«Старик грек, французский ребенок, индус-самоучка, каждый находит для себя одну и ту же теорию геометрических конических фигур. Простейший, а потому наиболее научный способ описания этого состоит в признании, что они открыли, а не создали геометрию, которая существует сама по себе вечно, одна для всех, одинаковая для учителя и для обучаемого, одинаковая для человека и для Бога. Истина, единая для человека и для Бога, есть чистая математика, которая отличается от прикладной…»

«И что бы мы ни думали о небесах, трудно представить астрономию и ботанику неизменными, при этом сохранившими интерес или значимость… С другой стороны, также тяжело представить себе, что чистая математика не выжила. Законы мысли, и особенно чисел, останутся на прежнем, высоком уровне на небесах, не важно, место это или состояние ума, поскольку они не зависят от конкретной сферы существования, неотъемлемы от самого Сущего, законы Его разума принадлежат Богу и нам, прежде чем мы о них узнали. Таблица умножения заслуживает признания и на небесах…»

«Бог сияет сквозь свои труды так же ясно в логике, как и в сущности».

«Вся геометрия так пропитана славой Божьей, что никто не знает, где начать говорить о ней».

«Два основных направления математики, анализ и геометрия, соотносятся с некоей точностью в двух великих таинствах христианской веры: Троице и Инкарнации».

Первые четыре десятилетия XX столетия запомнятся как начало революции в мире мысли, революции не менее основательной, чем сопутствующий политический и социальный переворот. Старые идеи, за которые по необходимости цеплялось рациональное мышление на протяжении столетий (пространство, время, числа, причинно-следственная связь), были изменены до неузнаваемости в течение десятилетий перед разразившейся Второй мировой войной. Традиционная универсальность математических «истин», так же как положенная необходимость в них, при тщательном рассмотрении исчезли или стали больше походить на один из многих аспектов человеческого знания. Мы проследили за этим изменением; теперь мы обратим внимание на все, что заменило их в науке XX века.

К середине 1930-х годов стало очевидно, что Пифагору с Платоном удалось выполнить свою договоренность о встрече в 1920 году. Довольно любопытно, но Кант тоже дал о себе знать, хотя ни тот ни другой из вернувшихся античных ученых не приглашал его участвовать в омоложении науки. Хотя математики уже давно отреклись от мудреца из Кенигсберга, он нашел неожиданный прием у некоторых из видных пифагорейцев того времени. Его «аподиктические истины» математики и его «синтетические априорные суждения», которые не существуют в области математики (что было к тому времени уже установлено) и которые часть современных логиков объявили не существующими нигде, внезапно материализовались в новых обличьях в физике.

Платона встречали почти так же, как Канта. Возвращение великого философа не стало новостью для

математиков-реалистов, коль скоро они пребывали в уверенности, что он никогда и не исчезал далеко. Но в целом компания ученых была несколько удивлена увидеть его снова. Они по ошибке вообразили, будто навсегда оставил их территорию ради своей же (впрочем, и их тоже) пользы еще в конце XVI столетия.

С самим Пифагором все обстояло много лучше. Он надеялся, но серьезно не ожидал найти математику столь же примитивной, такой, какой он ее оставил в VI веке до н. э. Не случилось. Одного изумленного взгляда, брошенного мельком на мерцающее пространство математики XX века, оказалось достаточно, дабы убедиться, что даже его гибкие во всех отношениях числа нельзя растянуть настолько, чтобы охватить все увиденное. Будучи до некоторой степени человеком практического ума, несмотря на всю свою нумерологию, Учитель благоразумно решил забыть свои нумерологические безрассудства и посмотреть, нельзя ли что-либо сделать в области, принесшей ему первую большую известность. К своей неописуемой радости, он обнаружил, что несколько выдающихся математических физиков и теоретических астрономов продолжили с того места, где он остановился. Он немедленно присоединился к ним. Натуральные числа 1, 2, 3… и их «отношения» (рациональные числа) вскоре снова завоевали всеобщую благосклонность как универсальные факты физической вселенной.

Все, что он всегда хотел сделать сам, но так и не сумел воплотить в одиночку, теперь с легкостью удавалось, словно сквозь решето сочувствующих современных умов просыпались лишь его мысли, очищенные от всяких ненужных примесей. Достаточно долго и упорно размышляя о числах, только числах и ни о чем более, Учитель делал самые поразительные научные открытия без единого наблюдения, без единого опыта. Для того, кто оглашал все эти великолепные новые эпистемологические требования, это было несущественно. Он, Пифагор, знал, что ему, и только ему одному принадлежало упоение от создания их лишь чистым разумом и что он наконец распрощается со своими чувствами и навсегда отвяжется от колеса рождения.

Но даже в момент своего триумфа Учитель был печален. Он краснел при воспоминании о том, как перебирал струны арфы. Как можно было так недооценивать творческую мощь своего собственного разума? Конечно, теперь, спустя почти двадцать четыре столетия, когда уже слишком поздно хоть как-то повлиять на репутацию, он разобрался, что закон музыкальных интервалов есть не что иное, как эпистемологический трюизм, неизбежный результат применения метода, посредством которого рациональный ум передает содержание своего чувственного опыта. Почему он не заметил этого еще тогда, в Кротоне? Неужели он действительно был так глуп в том скандальном воплощении, когда пытался цивилизовать Милона и его жену? Вспыхнув от стыда, он внезапно понял, почему тот неуклюжий атлет и его ничем не примечательная маленькая жена так странно смотрели на него, когда застали за измерением длины вибрирующей части струны монохорда. На какой-то момент он представил их в своем простоватом невежестве принявших его за ненормального. Теперь, слишком поздно, спустя все те злополучные столетия, он понимал, что они промолчали из вежливости. Они не стали насмехаться над гостем, который выполнял всю эту ненужную работу, дабы обнаружить неизбежный результат простого рассуждения, который они-то знали интуитивно с младенческих времен, они лишь стояли, замерев, в дверном проеме, не произнося ни слова из опасения больно задеть чувства своего ненормального гостя. Как далеко зашло их гостеприимство! «Неудивительно, – простонал Учитель, – почему колесо погрузило меня во все безумие средневековой нумерологии. Я явно заслужил не меньше». И случилось то, что уже не раз случалось в истории развития естествознания, математики и философии: методы, идеи и представления, которые светила одного из направлений человеческого знания отставили в сторону, охотно подхватили видные представители другого. Такие возвраты к прошлому не обязательно подразумевают бесплодие или упадничество. Но беспристрастный наблюдатель задавался вопросом, знают ли новые сторонники древних кредо, сочтенных несостоятельными, хоть что-нибудь из прошлого, что вызывает у них прилив воодушевления. Возможно, это и к лучшему, что порой они ничего и не знают, – нет более эффективного средства, оказывающего парализующее действие, чем знание.

В частности, большая часть научной философии современных пифагорейцев, по всей видимости, проистекает из античного смешения чистой математики, которая является абстрактной логической системой, свободной от фактического содержания, и прикладной математики, которая частично предназначена для согласования с видимым и поддающимся наблюдению фактом и которая в этом смысле является эмпирической наукой. Тавтологическая пустота чистой математики перешла, возможно подсознательно, к математически сформулированным гипотезам и «законам» естественных наук; и с этой фактической пустотой, иллюзией либо непреложной неотвратимости, либо надуманно априорного характера математических истин, переплавляется во «все законы природы, которые обычно классифицируются как фундаментальные».

Эта цитата – читатель, вероятно, узнал ее – взята у Эддингтона и приводится в самом начале книги. Мы теперь вернемся к нашей отправной точке и вспомним несколько исторических деталей, которые, возможно, частично лежат в основе поразительного заключения, что те самые фундаментальные законы природы «можно предсказать целиком путем эпистемологических рассуждений. Они соответствуют априорному знанию и поэтому полностью субъективны». Кант, как мы видели, придерживался подобного мнения относительно математических истин, особенно таковых из геометрии; а теологические логики Средневековья почти так же воспринимали логику и зачатки естественных наук Аристотеля. Мы видели также, что математики XIX и XX столетий отказались от подобных убеждений по вполне обоснованной причине, что им противоречит современное знание. Это, однако, не должно вызвать предвзятое отношение к научному пифагореизму. Компетентные эксперты все еще продолжают свои споры, и, скорее всего, споры эти продолжатся еще долгие годы. Давайте, перед тем как перейти к выводам, раз и навсегда остановимся на том, что, если современные пифагорейцы правы, это наименее ожидаемое и предельно недосягаемое научное достижение за все двадцать пять столетий.