Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

К сожалению для этой консумации познания и здравого смысла, сам Пифагор погряз в научных опытах и потерял свое могучее эго в бесконечном эксперименте. Наука, математика и философия нерешительно повернулись на Запад, а не на Восток.

Преданный сторонник современной магии чисел будет вынужден признать, что поворот на Запад задержал промышленную революцию до конца XVIII века. Поворот лицом к Востоку вверг бы мир в нее еще в III веке до н. э., и Вторая мировая война могла бы случиться на первом году нашей эры. А в каком состоянии был бы наш мир сегодня, не сможет ответить даже самый квалифицированный нумеролог.

Когда благодарные сограждане поинтересовались у Фалеса, какую награду хотел бы он получить за свои деяния для них и города, в ответ прозвучало: «Веры в мои открытия». Если судить по дошедшим до нас письменным свидетельствам, Фалес был первым, кто предположил, что созданные разумом нематериальные, неосязаемые ценности способны пережить материальные.

Это предположение оказалось проницательным. Богатый царь Крез был помешан на золоте. Его сравнительно небогатый друг, хитроумный Фалес, увлекался идеями. Он нацелился на бессмертие. Если Крез, общеизвестный как самый богатый человек Античности, и внес в развитие цивилизации что-нибудь, кроме поговорки «богат как Крез», это уже давным-давно забыто. И хотя Крез, просто как имя, возможно, и более известен, чем Фалес, но именно последний остается вечно живым. Уже одно из его достижений обеспечило ему бессмертие, которого он желал. Дедуктивный метод исследования, используемый в геометрии, традиционно приписывается Фалесу. Он только мельком затронул то, что Пифагор и его последователи развили в заслуживающие доверия основы математики, как они воспринимаются в наше время, и все же он был первым, о ком упоминает история, кто предвидел ее возможности.

Как станет известно позднее, есть основания считать, что древние египтяне тоже применяли метод дедуктивных умозаключений в геометрии. Но, кроме неоднозначного утверждения одного человека, никаких свидетельств на этот счет обнаружено не было. Согласно греческим преданиям и истории, первым был Фалес в VI веке до н. э.

Связь дедуктивного метода со всей математикой и наукой столь важна своими последствиями, что следует немного остановиться на этом методе, прежде чем перейти к личности самого Фалеса. Самая суть вопроса состоит в том, что без дедуктивных умозаключений математики в том виде, в котором она понимается профессиональными математиками, просто не существует. Данное категоричное заявление обычно приводит в ярость тех романтиков, кто находит упоение в выискивании поразительных образчиков математического гения во всем, от учетных записей мумифицированного египетского управляющего до зигзагообразных молний на горшках индейцев племени зуни. Никто не станет отрицать, что подобные вещи могли предшествовать появлению арифметики и геометрии или что они могли бы натолкнуть людей, способных мыслить размеренно, позитивно и абстрактно, на проявление математических начал. Но путать их с математиками – все равно что смешать все мышление с розовым туманом, где мифология дикарей не может быть отличима от всемирного тяготения Ньютона и пространства-времени Эйнштейна. Нежелание провести границы между тем, что математики называют математикой и полуэмпиризмом, что предшествует этой математике, но иногда по ошибке принимается за математику, вводит в заблуждение многочисленных философов от античных греков до Канта в XVIII веке. К этому еще вернемся в соответствующем разделе.

«Дедуктивные рассуждения» можно заменить в данной работе более коротким, но не менее емким термином – «доказательство». Достаточно двух деталей. Доказательство в математике происходит от четко выраженных допущений, ясно обоснованных. Допущения могут в разное время именоваться постулатами и чуть реже аксиомами. В античные времена преобладала уверенность, что постулаты математики являются очевидными истинами, присущими «природе вещей», не требующими доказательств и являющимися непреложными для любой последовательной (не противоречащей самой себе) оценки «чисел» и «пространства». Эта вера в жизненную необходимость постулатов, скажем в элементарной геометрии и арифметике, просуществовала до XIX века. Затем мало-помалу приходило осознание, что постулаты, ставшие основой математики, вовсе не обязательные истины в описанном смысле, но некое договорное условие, на которое согласны все математики. В частности, постулаты геометрии явно человеческого происхождения. Они не были навязаны человечеству «природой вещей» или каким-либо еще экстрачеловеческим посредничеством. Этот очень неадекватный итог диспута длиной в два тысячелетия вполне достаточен на данный момент, позднее он будет досконально рассмотрен.

Вторая деталь, которую следует постоянно учитывать, касается процесса, посредством которого математические выводы появляются на базе постулатов. Он и именуется дедукцией. Постулаты принимаются на веру без дальнейших доказательств. Любое утверждение, подразумеваемое постулатами, считается справедливым просто по определению. В задачи математики входит поиск утверждений, вытекающих из постулатов.

Здесь вполне уместно отметить, что пользоваться можно только системой умозаключений, согласованной между математиками. Эта система именуется формальной логикой. Со времени своего появления в Древней Греции и до настоящего времени она получила широкое распространение, классическая же логика Аристотеля является лишь разделом формальной или математической логики, традиционно используемой. Подобно постулатам, на которые она опирается, логика стала предметом всеобщего соглашения между математиками. Она не была навязана им судьбой или непреложной необходимостью. Данный вопрос также нуждается в дополнительном освещении, но не в данный момент.

Мы не затрагиваем вопрос, по какой причине математики отдают предпочтение той или иной системе постулатов в различных случаях, что легко себе представить, или почему они используют один метод рассуждений вместо другого. Так уж исторически сложилось, что геометры из глубочайшей древности перешли к определенным продуктивным методам размышлений, подсказанным им их практическим опытом. Прежде чем они осознали, что делают, они уже размышляли дедуктивно. Их умозаключения всегда оказывались последовательными.

Исходя из этого отдельные философы-математики вывели наивеличайшее и нисколько не логичное утверждение: логика есть необходимость, неминуемая судьба, навязанная человеческому разуму из ниоткуда. Логика не была изобретением человека, а только лишенным временной привязки даром человечеству от бессмертных богов. В той или иной форме эта вера просуществовала ни много ни мало более двух тысяч лет. Сомнения в ее полезности появились только совсем недавно.

Дальнейшие взаимозачеты могут слишком усилить претензии одной школы философии по указанным базовым вопросам за счет ее конкурентов. Действительно ли Фалес (или любой другой человек) изобрел дедуктивный метод, или он просто наткнулся на него? Такой же вопрос мы поднимали в отношении чисел: кто-то изобрел числа или их просто нашли? Нет необходимости повторять дедуктивные рассуждения, которые уже прозвучали о числах. Каждый вправе выбрать ответ, который ему по нраву. Великие умы не приходили к согласию. Что касается нас, нам хватит и того, чтобы продолжить узнавать, как возникло это непримиримое разногласие во мнениях.

Что станет с египетскими и вавилонскими изысканиями в области чисел и всего остального в рамках суженной математической концепции, описанной выше? Поскольку ни те ни другие никогда ничего не доказывали (насколько это известно на настоящий момент), их вклад не имел ничего общего с математикой. Никого не заставляют принять столь сбивающий с толку и столь оскорбительный вывод, да мало кто и примет его. В обыкновенных исторических записках, возможно, нет ни необходимости, ни смысла проводить четкую границу между тем, что следует именовать математикой, и тем, что не заслуживает носить этот громкий титул. Настоятельное требование доказательств как критерий – это современный подход. Если пользоваться только им, то придется отвергнуть слишком многое из того, что наши предки именовали математикой, и сильно посягнуть на наши собственные достижения.

Компромиссом было бы признать все, что большинством компетентных математиков конкретной эпохи было принято как доказанное, не важно, выдержало ли это критику позднейших поколений математиков или было признано ошибочным или неполным. Но тогда потребовался бы тест на признание, что есть по сути доказательство. Те, кто пытался подтвердить свои выводы, могут считаться математиками, а остальные – эмпирики.

Разграничение достаточно известно редакторам математической периодики, которым положено решать, является ли представленная им на публикацию работа математической или какой-либо еще. Воспользуемся примером из арифметики. Прилежный расчетчик осознает после сорока лет нещадных трудов, что 8 и 9 – единственные числа меньше миллиарда миллиардов, отличные друг от друга только на 1, для которых характерно следующее: оба числа являются точными степенями, основания и показатели которых также отличаются на единицу (8 = 23, 9 = 32). Истрепав несколько калькуляторов и немного собственной нервной системы, потенциальный математик считает дело законченным и принимает решение обнародовать свое исследование. Итак, он пишет редактору любимого математического журнала о своей гипотезе: «Единственными точными степенями, отличными на 1, являются 8 и 9». – «Возможно, вы правы, – отвечает редактор, – но как вы это докажете? С надеждой на известие от вас в ближайшем будущем возвращаю вам вашу рукопись». С тех пор все ждет ответа.