1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Пятый постулат в современных терминах формулируется следующим образом: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную». Очевидно, что эта аксиома не зависит от предыдущих.
К тому же ее формулировка длиннее и содержит в себе условие. Многие математики думали, что пятый постулат можно вывести из предыдущих аксиом, и попытались доказать это. Некоторые из них до конца жизни были уверены, что им удалось сделать это, а другие сомневались даже в том, что его можно считать постулатом.
* * *
ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
Удивительно, как мало нам известно о жизни автора «Начал»». Его называют Евклид Александрийский, потому что он заведовал музеем в Александрии. Это учреждение наряду с великолепной библиотекой являлось хранилищем всех знаний того времени.
Евклид был скромен и доброжелателен, хотя часто саркастичен. «Нет царского пути к геометрии»», — так ответил он Птолемею, правителю города, когда тот спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»». А когда один ученик спросил, какова выгода от геометрии, Евклид приказал дать ему три монеты, «раз он хочет извлекать прибыль из учебы»». Считается, что Евклид также написал труды по широкому кругу других вопросов, таких как оптика, астрономия, геометрия, музыка и дидактика, хотя историки не уверены в том, один и тот же ли Евклид является автором всех этих текстов, приписываемых ему.
* * *
На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.
Ключевым моментом в решении этого вопроса стала работа итальянского математика Джироламо Саккери (1667–1733). Вместо того чтобы вывести пятый постулат из предыдущих, он использовал метод от противного. Доказательство основывалось на четырехугольнике с двумя прямыми углами А и D и равными сторонами АВ и CD. Для других равных углов В и С существует три возможности:
1) В = С = 90° (гипотеза прямых углов, или евклидова гипотеза);
2) В = С > 90° (гипотеза тупых углов);
3) В = С < 90° (гипотеза острых углов).
Четырехугольник Саккери с двумя прямыми углами.
Гипотеза тупых углов быстро отбрасывается, о гипотезе острых углов Саккери сказал следующее: «Гипотеза острых углов абсолютно ложна, потому что противна самой природе прямой линии». И Саккери, и немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) получили интересные геометрические результаты, вытекающие именно из гипотезы острых углов.
Лишь в XIX в. Гаусс, Лобачевский и Бойяи окончательно решили эту проблему, хотя немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс не публиковал свои открытия, поскольку они противоречили философским доктринам той эпохи о природе пространства.
Русский математик Николай Иванович Лобачевский был первым, кто обнародовал новую геометрию, отличавшуюся от геометрии Евклида. Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией», и теперь она известна как гиперболическая геометрия. Она соответствует гипотезе острых углов Саккери, по которой через точку вне данной прямой проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной.
Лобачевский представил свою работу в 1826 г. на конференции в Казанском университете, где он работал, а затем опубликовал ее в журнале «Казанский вестник» в серии статей под названием «О началах геометрии». Три важнейшие его работы содержат описание новой геометрии: «О началах геометрии» (на русском языке), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (на немецком языке) и его последняя книга «Пангеометрия» (на русском и французском языках).
Математик-любитель и офицер австро-венгерской армии Янош Бойяи (1802–1860) подошел к задаче с несколько иной точки зрения. Он разработал абсолютную геометрическую теорию, используя только первые четыре постулата, и исследовал, зависят ли полученные геометрические результаты от пятого постулата. Его статья была опубликована в 1832 г. в виде приложения к работе его отца, близкого друга Гаусса, математика Фаркаша Бойяи (1775–1856), который также работал над проблемой о параллелях. Он так написал об этом своему сыну: «Ради бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»
* * *
ИММАНУИЛ КАНТ И ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
После эпохи Возрождения образ Бога начал терять свое значение в области математики и науки в целом. Позже, в XVIII в., роль Бога как архитектора мира еще более поблекла. Говорят, что Наполеон упрекал французского математика Пьера Лапласа (1749–1827) в том, что в его главной работе «Небесная механика» тот не упоминал Творца, на что Лаплас ответил: «Сир, я не нуждался в этой гипотезе».
Но тогда философы задались вопросом, а верны ли сами математические законы природы?
Шотландский философ Дэвид Юм (1711–1776) считал, что наше знание о мире является субъективным, поскольку оно получено через наши органы чувств. Другими словами, никто не может гарантировать существование объективного физического мира, и, следовательно, не имеет смысла говорить о его научных законах.
Со своей стороны, Кант в работе «Критика чистого разума» (1781) утверждал, что пространство и время являются формами восприятия и интуиции, на основании которых ум рассматривает реальность. Так как понятие пространства находится в нашем сознании, оно принимает форму определенных истин, которые Кант называл «априорными синтетическими суждениями», являющимися частью наших врожденных умственных способностей. Геометрия просто следует из них. Евклидова геометрия и трехмерное пространство являются частью этих истин априори.
* * *
И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии: евклидовой, гиперболической или эллиптической.
Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только после лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например, сфера является конечной, но неограниченной.
* * *
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)
Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».
Советская марка с портретом Лобачевского.
Рождение многомерной геометрии
В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.
