— Совсем как промывают золото, — сказал Олег. — Песок уходит, а золото остаётся.
— Прекрасное сравнение! — воскликнула Четвёрка. — Простые числа — это действительно наше золото. Итак, — продолжала сна, — чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до… Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?
— Я знаю, — сказала Таня. — Все чётные числа делятся на два.
— Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.
Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.
Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные — 6, 12, 18… — мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…
Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.
А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.
Вот первые из них:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.
— Очень просто! — заявил Сева. — Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…
— Не торопитесь, — перебила его Четвёрка. — Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить — простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!
— А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? — усомнился Сева.
— Нет! Не может быть! — ответила Четвёрка. — Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, — закончила свой рассказ Четвёрка.
— А мы как раз идём для этого в Рим, — сказал Сева.
— За Нуликом в Рим?! — удивилась Четвёрка. — Его там не может быть!
— А мы всё-таки пойдём! — упорствовал Сева.
— Как вам будет угодно! — согласилась наша проводница. — Желание гостя для нас закон.
Мы свернули на маленькую улочку.
— Какая прелестная улица! — захлопала в ладоши Таня.
— Но это же улица Совершенства, — пояснила Четвёрка. — Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут-совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.
— Значит, они составные? — спросила Таня.
— Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число — 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:
1+2+3=6.
— Изумительно! — воскликнула Таня.
— Или вот другое совершенное число — 28, — продолжала Четвёрка. — Помните, какие у него младшие делители?
— Помним, — ответила Таня. — 1, 2, 4, 7 и 14.
— Сложите их:
1+2+4+7+14=28.
— Здорово! — закричал Сева.
— Ага! — догадался Олег. — Значит, совершенные; числа равны сумме всех своих младших делителей.
— Молодец! — похвалила Четвёрка.
— А много ли на этой улице совершенных чисел? — поинтересовался Сева.
— К сожалению, — сокрушённо вздохнула Четвёрка, — всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.
— Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, — задумчиво сказал Сева.
— Ах, это только малая крупица наших богатств! — с гордостью ответила Четвёрка. — Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:
1+2+4+71+142=220.
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Вот почему эти числа называются дружественными.
Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг — это второе я!» — и при этом сослался на числа 220 и 284.
А ведь таких чисел-друзей много!
Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.
Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.
— Здешние римляне утверждают, — не без юмора сказала Четвёрка, — что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема — основателей древнего Рима.
— Смотрите, смотрите, — закричал Сева, — у них на башне гусь!
— Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? — предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.
— Как это гуси могли Рим спасти? — возмутился Сева.
— Очень просто, — ответил Олег. — Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.
Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.
— Не бойтесь, — улыбнулась Четвёрка, — она уже давно никого не трогает.
И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.
В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.
Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.
Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров — точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.
Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.
Но вот ветхие петли не выдержали — ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.
Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.
— Ничего не поделаешь — древность! — вздохнул Сева.
Но что это?
Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя — старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».
Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.
— Идите, — сказала Четвёрка, — а я подожду вас здесь.
