Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вместо двух.
В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 х 8 = 200), то вы сможете получить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 х 4 = 300, то легко вычислите 975 х 4.
Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собственного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни катанию на велосипеде или печатанию. Это может казаться невозможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете.
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наиболее впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычислений. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократно, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался вопросом: насколько большим может быть произведение этих чисел?
Я начал с середины, 10 х 10 (или 102) равняется 100. Затем я умножил 9 х 11 = 99; 8 х 12 = 96; 7 х 13 = 91; 6 х 14 = 84; 5 х 15 = 75; 4 х 16 = 64 и т. д. и обратил внимание на то, что результат каждый раз уменьшается. И разность между ним и 100 составляет 1, 4, 9, 16, 25, 36… или 12, 22, 32, 42, 52, 62… (смотри таблицу ниже).
Мое открытие показалось мне удивительным. Затем я опробовал числа, дающие в сумме 26, и получил похожие результаты. Первым делом я вычислил 132 = 169, затем 12 х 14 = 168; 11 х 15 = 165; 10 х 16 = 160; 9 х 17 = 153 и т. д. Как и прежде, разность этих произведений и числа 169 равнялась 12, 22, 32, 42…
(смотрите таблицу ниже).
На самом деле существует простое алгебраическое объяснение данного феномена (смотрите раздел «Почему эти приемы работают» в конце главы). Но в то время я не разбирался в алгебре настолько хорошо, чтобы доказать постоянство появления такой последовательности, но все-таки провел достаточное количество экспериментов с подобными примерами, чтобы убедиться в ее наличии.
Затем я осознал, что данная последовательность может облегчить операцию возведения чисел в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Почему бы, вместо того чтобы умножать 13 х 13, не получить приближенный ответ, используя два числа, которые легче перемножить и которые в сумме дают тоже 26? Я выбрал 10 х 16 = 160. Чтобы получить итоговый ответ, я просто прибавил 32 = 9 (так как 10 и 16 дают разность 3 с числом 13) к числу 160. Таким образом, 132 = 160 + 9 = 169. Все четко!
Данный метод схематически можно представить так.
А теперь посмотрим, как эта схема работает с квадратом другого числа
Чтобы возвести в квадрат 41, вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42. Далее умножаем 40 х 42. Без паники! Это простое умножение типа «2 на 1» под прикрытием (здесь 4 х 42). Так как 4 х 42 = 168, то 40 х 42 = 1680.
Почти все! Вам осталось лишь прибавить квадрат 1 (числа, на величину которого вы уменьшали и увеличивали 41), чтобы получить ответ: 1680 + 1 = 1681.
Неужели в самом деле так легко возводить в квадрат двузначные числа? Да, с использованием этого метода и небольшим количеством практики. И способ работает независимо от того, округляете вы исходное число в бóльшую или меньшую сторону.
Например, возведем 772, увеличив и уменьшив его во время решения.
В данном примере преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически уже получили решение, осталось просто прибавить 9 к 0 на конце!
По сути, я всегда округляю по принципу большей близости к 10. Так, если возводимое в квадрат число оканчивается на 6, 7, 8 или 9, то округляю в большую сторону, а если на 1, 2, 3 или 4, то в меньшую. (Если число оканчивается на 5, то округляем сразу в обе стороны!) Придерживаясь такой стратегии, вы ограничитесь прибавлением лишь чисел 1, 4, 9, 16 или 25 к результатам первого умножения.
Рассмотрим другой пример. Вычислите 562 в уме самостоятельно, прежде чем посмотрите на наше решение.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, еще легче. Так как здесь выполняется округление в любую из сторон на величину 5, то числа, которые нужно перемножить, будут кратны 10. Следовательно, умножение и сложение покажутся особенно простыми. Ниже представлены решения для 852 и 352.
Как говорится в главе 0, когда в квадрат возводятся числа, оканчивающиеся на 5, округление в большую и меньшую стороны позволит немедленно сказать первую часть ответа, а потом дополнить его числом 25. Например, когда вы хотите посчитать 752, округление до 80 и 70 даст вам «пять тысяч шестьсот… двадцать пять!».
Что касается чисел, оканчивающихся на 5, вам будет несложно разгромить любого «вычислителя» с калькулятором в руке. А после небольшой практики с другими задачками калькулятор, не заставит себя долго ждать. Вы даже перестанете бояться больших чисел. Можете попросить кого-нибудь задать вам действительно большое двузначное число, что-нибудь вроде «больше 90», и это будет выглядеть в глазах людей так, словно вы взялись за непосильную задачу. На самом же деле так даже проще, потому что у вас будет возможность округлить до 100.
Представим, что ваша аудитория назвала 962. Сначала попробуйте сами, а потом сравните с нашим решением
Правда, было легко? Вам следовало округлить с помощью 4 до 100 и 92, а затем умножить 100 х 92 и получить 9200. В момент решения задачи вы можете проговаривать вслух: «Девять тысяч двести…» и затем закончить: «…шестнадцать». И наслаждаться аплодисментами.
УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Решите следующие задачи.
1. 142 2. 272 3. 652 4. 892 5. 982
6. 312 7. 412 8. 592 9. 262 10. 532
11. 212 12. 642 13. 422 14. 552 15. 752
16. 452 17. 842 18. 672 19. 1032 20. 2082
* * *
Зера Колберн: занимательные расчеты
Одним из первых извлечь выгоду из своего таланта — умения производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн (1804–1839), сын американского фермера из Вермонта, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию исполнилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный феномен в истории человеческого разума из когда-либо существовавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом.
Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех соперников в скорости и точности. В автобиографии он рассказывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000.
Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 х 543 путем разложения 543 как 181 х 3. Затем он умножил 21 734 х 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562.
Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивительным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником-методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подытоживая информацию о своих способностях к молниеносным вычислениям и преимуществам, которые такой дар дает, Колберн размышлял: «Действительно, метод… требует большего количества вычислений, чем общее правило. Зато запомнится то, что ручка, чернила и бумага обходились Зере очень дешево».
