В отличие от этого, если вселенная имела бы два или даже просто одно пространственное измерение, как бы изменилась формула Ньютона? Ну, на Рис 13.5а показана двумерная версия Солнца и его орбитального спутника. Как вы можете видеть, при любом данном расстоянии линии гравитационного поля Солнца однородно распределены по окружности, аналогу сферы с измерениями на одно меньше. Поскольку длина окружности пропорциональна ее радиусу (а не квадрату ее радиуса), если вы удвоите расстояние между солнцем и спутником, плотность линий поля уменьшится на фактор 2 (а не 4) , так что сила гравитационного притяжения спутника солнцем упадет только в 2 раза (а не в 4). Если вселенная имеет только два пространственных измерения, тогда гравитационное притяжение будет обратно пропорционально расстоянию, а не квадрату расстояния.
Если вселенная имеет только одно измерение, как на Рис. 13.5b, закон притяжения будет еще проще. Линии гравитационного поляне не имеют пространства, чтобы рассеиваться, так что сила гравитации не будет уменьшаться с расстоянием. Если вы удвоите расстояние между Солнцем и спутником (предполагая, что аналоги таких объектов могут существовать в такой вселенной), одно и то же число линий поля будет пересекать спутник, а потому сила гравитационного воздействия между ними не будет изменяться совсем.
Рис 13.5 (а) Во вселенной только с двумя пространственными измерениями гравитационная сила падает пропорционально расстоянию, поскольку линии гравитационного поля распределяются по окружности, чья длина пропорциональна ее радиусу, (b) Во вселенной с одним пространственным измерением линии гравитационного поля не имеют пространства, чтобы распределяться, так что гравитационная сила постоянна независимо от расстояния.
Хотя это невозможно нарисовать, примеры, проиллюстрированные на Рис. 13.4 и 13.5, непосредственно распространяются на вселенную с четырьмя, или пятью, или шестью или любым числом пространственных измерений. Чем больше пространственных измерений имеется, тем больше пространства имеют гравитационные силовые линии, чтобы рассеяться. А чем больше они рассеиваются, тем более чувствительно сила притяжения падает с увеличением расстояния. В четырех пространственных измерениях закон Ньютона будет законом обратного куба (удвоение расстояния приводит к падению силы в 8 раз); в пяти пространственных измерениях это будет закон обратной четвертой степени (удвоение расстояния приводит к падению силы в 16 раз); в шести измерениях это будет закон обратной пятой степени (удвоение расстояния приводит к падению силы в 32 раза); и так далее для все более многомерных вселенных.
Вы можете подумать, что успех закона обратного квадрата Ньютона в объяснении огромного количества данных – от движения планет до траекторий комет – подтверждает, что мы живем во вселенной с точно тремя пространственными измерениями. Но это заключение будет поспешным. Мы знаем, что закон обратного квадрата работает на астрономических масштабах,[6] и мы знаем, что он работает на земных масштабах, и что это хорошо стыкуется с фактом, что на таких масштабах мы видим три пространственных измерения. Но знаем ли мы, что он работает на малых расстояниях? Как далеко в микрокосмосе проверен гравитационный закон обратного квадрата? Как оказывается, экспериментаторы подтвердили его только примерно до одной десятой миллиметра; если два объекта разделены расстоянием в одну десятую миллиметра, данные подтверждают, что сила их гравитационного притяжения следует предсказанию закона обратных квадратов. Но пока оказалось большой технической проблемой протестировать закон обратного квадрата на более мелких масштабах (квантовые эффекты и слабость гравитации усложняют эксперименты). Это критическая проблема, поскольку отклонение от закона обратного квадрата будет убедительным сигналом о дополнительных размерностях.
Чтобы увидеть это явно, поработаем с низкоразмерным игрушечным примером, который мы легко можем нарисовать и проанализировать. Представим, что мы живем во вселенной с одним пространственным измерением – или так мы думаем, поскольку только одно пространственное измерение является видимым и, более того, столетия экспериментов показали, что сила гравитации не меняется с расстоянием между объектами. Но также представим, что во все эти годы экспериментов мы были в состоянии протестировать закон гравитации только до расстояний около одной десятой миллиметра. Для более коротких дистанций, чем эта, никто не имеет никаких данных. Теперь представим далее никому не известное, но подозреваемое горсткой физиков-теоретиков, что вселенная на самом деле имеет второе скрученное пространственное измерение, делая ее форму подобной поверхности каната муравья Филиппа Пети, как на Рис. 12.5. Как это может повлиять на будущий, более утонченный гравитационный тест? Мы можем вывести ответ, рассмаривая Рис. 13.6. Когда два мельчайших объекта находятся достаточно близко друг к другу – более близко, чем длина скрученного измерения, – двумерный характер пространства немедленно становится явным, поскольку на таких масштабах линии гравитационного поля будут иметь место, чтобы рассеяться (рис. 13.6а). Вместо того, чтобы быть независимыми от расстояния, силы гравитации будут изменяться обратно пропорционально расстоянию между объектами, которые находятся достаточно близко друг от друга.
(а) (b)
Рис 13.6 (а) Когда объекты достаточно близки, гравитационное притяжение изменяется так, как это происходит в двух пространственных измерениях. (b) Когда объекты удалены, гравитационное притяжение ведет себя, как это и должно быть в одном пространственном измерении, – оно постоянно.
Таким образом, если бы вы были экспериментатором в этой вселенной и вы разработали бы изысканно точный метод измерения гравитационного притяжения, это было бы то, что вы нашли. Когда два объекта экстремально сближаются, ближе, чем размер скрученного измерения, их гравитационное притяжение уменьшается пропорционально расстоянию между ними, точно так же, как вы могли бы ожидать для вселенной с двумя пространственными измерениями. Но тогда, когда объекты удалены друг от друга на расстояние, много большее длины скрученной размерности, вещи изменятся. За пределами указанной дистанции линии гравитационного поля больше не смогут рассеиваться. Они будут расходиться точно так же, как они это могли делать во втором скрученном измерении, – они будут насыщать это измерение, – так что с этого расстояния и дальше гравитационные силы больше не будут уменьшаться, как показано на Рис. 13.6b. Вы можете сравнить это насыщение с прокладкой водопроводных труб в старом доме. Если кто-нибудь открывает кран на кухне, когда вы только что намылили шампунем свои волосы, давление воды падает, поскольку вода распределяется между двумя выходными отверстиями. Давление еще больше уменьшится, когда кто-нибудь откроет кран в прачечной, поскольку вода распределиться еще больше. Но как только все краны в доме открыты, давление останется постоянным. Хотя это может не обеспечить релаксацию и ощущение высокого давления воды, которое вы предвкушали, давление в душе не будет падать больше никогда, поскольку вода полностью распределена между всеми "внешними" выходными отверстиями. Аналогично, как только гравитационное поле полностью рассеется сквозь внешнее скрученное измерение, оно больше не будет уменьшаться при дальнейшем увеличении расстояния.
Из ваших данных вы можете вывести две вещи. Первое, из факта, что гравитационная сила уменьшается пропорционально расстоянию, когда объекты очень близки, вы обнаружите, что вселенная имеет два пространственных измерения, а не одно. Второе, из перехода к постоянной гравитационной силе – результату, известному из столетий предыдущих экспериментов, – вы сделаете заключение, что одно из этих измерений скручено с размером, примерно равным расстоянию, при котором имеет место смена закона поведения гравитации. И с этим результатом вы опрокинете столетия, если не тысячелетия веры во что-то настолько основополагающее, как размерность пространства, которое казалось почти вне обсуждения.
Хотя я изложил эту историю для низкоразмерной вселенной для простоты визуализации, наша ситуация будет почти такой же. Сотни лет эксперименты подтверждали, что гравитация меняется обратно квадрату расстояния, давая строгое доказательство, что мы имеем три пространственных измерения. Но до 1998 года ни один эксперимент еще не проверил силу гравитации на расстояниях, меньших миллиметра (сегодня, как отмечалось, это доведено до одной десятой миллиметра). Это привело Саваса Димопоулоса из Стэнфорда, Нима Аркани-Хамеда, в настоящее время работающего в Гарварде, и Гиа Двали из Нью-Йоркского Университета к предположению, что в сценарии мира на бране дополнительные размерности могли бы быть величиной порядка миллиметра и все еще не были бы обнаружены. Это радикальное предположение инсприровало большое число экспериментальных групп к началу исследования гравитации на субмиллиметровых расстояниях в надежде найти отклонения от закона обратного квадрата; до сегодняшнего дня ничего не было найдено, хотя точность повысилась до одной десятой миллиметра. Таким образом, даже при сегодняшних самых продвинутых экпериментах по гравитации, если мы живем внутри 3-браны, дополнительные измерения могут быть так же велики, как десятая доля миллиметра, и мы все еще не можем узнать о них.
