§ 34. Теорема Гаусса
Следует заметить, что теорему Гаусса, которая связывает величину заряда Q с электрическим полем Е вокруг этого заряда, в отечественной литературе принято называть теоремой Остроградского – Гаусса. Считается, что русский учёный Остроградский доказал эту теорему независимо от Гаусса. Не вдаваясь в споры о приоритете, покажем, что теорема Остроградского-Гаусса элементарно выводится из закона Кулона. Напомним, что закон Кулона имеет вид: F = Qq/4πε0r2 (34.1), где Q – заряд тела, q – малый (пробный) заряд, r – расстояние от тела до малого заряда, ε0 – электрическая постоянная. Полем E мы по прежнему называем отношение силы F к малому заряду q: E = F/q.
Перепишем (34.1) в виде: E = Q/(4π ε0 r2) или: E*4π r2 = Q/ε0 (34.2). Слева в (34.2) стоит поле E, умноженное на площадь поверхности сферы радиуса r: 4π r2 = S0. Произведение любого поля на площадь поверхности, через которую это поле проходит, Фарадей назвал потоком поля Ф. Тогда можно написать: Ф = Q/ε0 (34.3). Уравнение (34.3) называют теоремой Остроградского – Гаусса. Согласно этой теореме, поток Ф электрического поля Е через замкнутую поверхность равен зарядуQ внутри нее, деленному на ε0. Значение универсальной постоянной ε0 равно 0,885х10-11 ф/м.
Задача. Вычислить напряженность электрического поля Е для провода диаметром 2 r вблизи его поверхности.
Решение. Опытами доказано, что свободные электроны размещаются главным образом на поверхности заряженного тела, потому что их вытесняют поля связанных электронов. Выберем участок провода длиной l с площадью поверхности s = 2π r l. Теорема Гаусса для провода имеет вид: Ф = E s = E 2π r l = Q/ε0, откуда E = Q/(2π r l ε0). Введем понятие линейной плотности заряда провода: λ = Q/l, тогда для провода: E = λ/(2π r ε0) (343.4). Это есть ответ.
Вернемся к вопросу об ослаблении электрического поля диэлектриком. Поместим наш конденсатор в аквариум, зарядим его и отключим от генератора. Затем в аквариум нальем диэлектрик – дистиллированную воду. Если сейчас измерить напряжение U1 на обкладках конденсатора, мы увидим, что оно уменьшилось почти в 90 раз! Из (8.5) следует, что для сухого конденсатора U = E d (35.1). Тогда для конденсатора с диэлектриком можно написать U1 = U/ε, или E1 = E/ε (35.2), где ε – коэффициент ослабления поля. Величину ε принято называть диэлектрической проницаемостью, хотя она характеризует не проницаемость, а ослабление поля диэлектриком. (Справедливости ради заметим, что вместо понятия сопротивления в теории электричества часто используют понятие проводимости, которое имеет противоположный смысл). Для каждого диэлектрика ε имеет своё значение. Для ряда веществ значения ε измерены и сведены в таблицу.
Возникает вопрос: как этот эффект можно использовать в технике? Подключим снова конденсатор в аквариуме к генератору. Так как напряжение U1 меньше э.д.с. генератора в ε раз, ток зарядки возобновится. Заряжание конденсатора продолжится до того, когда напряжение U1 станет равным э.д.с. генератора. При этом заряд увеличится в ε раз. Это означает, что емкость С1 конденсатора с диэлектриком увеличилась в ε раз относительно емкости C сухого конденсатора. Таким образом, применение диэлектриков позволяет изготавливать конденсаторы небольших размеров, но с большой емкостью.
Попробуем объяснить это явление. Из химии известно, что молекулы воды частично распадаются на протоны H+ и ионы гидроксила OH-. Протоны стремятся к отрицательной обкладке, частицы гидроксила – к положительной. Облепив отрицательную обкладку, протоны частично нейтрализуют ее поле, снижая потенциал φ. Ионы гидроксила облепляют положительную обкладку и тоже снижают ее потенциал. Кроме того, молекула H2O имеет свое поле, так как она сферически несимметрична. Такие молекулы называются полярными. В целом нейтральные, молекулы Н2О разворачиваются вдоль поля конденсатора. Так в объеме диэлектрика возникает комбинированное встречное поле, которое существенно нейтрализует поле конденсатора. Можно сказать, электроэнергия дополнительно запасается в диэлектрике в форме энергии внутренних полей, что существенно увеличивает емкость конденсатора.
Можно предположить, что диэлектрическая проницаемость диэлектриков должна зависеть от плотности вещества и от подвижности носителей внутренних полей. В твердых диэлектриках полярные молекулы связаны и могут только поворачиваться на небольшой угол навстречу полю. Поэтому твердые диэлектрики должны иметь сравнительно небольшую величину ε, что подтверждается измерениями. Например, для фарфора ε составляет от 4 до 7 единиц (зависит от марки фарфора). Это намного меньше, чем у воды. Наименьшей величиной ε обладает вакуум, для него ε = 1. Для воздуха (смесь азота и кислорода) величина ε = 1.0006, почти как у вакуума. Низкая проницаемость воздуха объясняется его малой плотностью.
Глава 4. Электрический магнетизм
Опытами доказано, что электрическое поле сохраняется вокруг заряженной частицы, даже если она остаётся одна. Электрон и в вакууме является носителем электрического поля. На этом принципе работают все электронные лампы. К сожалению, многочисленные попытки найти частицы, несущие «магнитный» заряд, ни к чему не привели. Образец магнетита, который является природным постоянным магнитом, можно распиливать пополам множество раз, но у каждой новой половинки мгновенно возникает и северный и южный полюс.
Заметим, что линии «магнитного» поля, которые так любят демонстрировать в опытах с железными опилками, всегда замкнуты. Ключевое слово здесь «всегда». Представим, заряженная частица движется вдоль магнитной линии и возвращается в исходную точку. Энергия частицы не изменилась, значит, никакой работы поле не произвело. Действительно, многочисленные опыты показывают, магнитное поле работу не производит. Для нашего подхода это означает, что магнитное поле существует только на бумаге. То, что по традиции называют «магнитным полем», является свойством электрического поля, которое проявляется при движении заряженных частиц. Когда говорят, «действует магнитное поле», мы должны понимать, что работает электрическое поле, которое приобретает дополнительное действие при движении его носителя. Следует признать, за прошедшие почти два столетия теория магнетизма получила такое развитие, что её результатами пользуются все. Мы тоже будем применять понятия магнитной теории, чтобы не отходить далеко от традиционного курса. Иначе нас не поймут. Обратимся к опытам.
В 1820 году Эрстед пропустил через провод электрический ток и поднес магнитную стрелку. Стрелка отклонилась. Если провод с током действует на магнит, значит, вокруг провода с током возникает такое же поле, какое существует вокруг природного магнита, предположил Эрстед. Он объявил, что вокруг провода с током возникает магнитное поле и обозначил его буквой H. Заметим, в медном проводе никакого природного магнетизма нет, но легкая катушка с током повернётся возле провода с током точно так, как стрелка из магнетита. На этом основана работа любого прибора электродинамической системы. В них взаимодействуют электрические поля катушек с током. Справедливости ради стоит сказать, что в 1820 году об электронах ничего не знали.
Располагая одинаковые магнитные стрелки вокруг провода на расстоянии R, Эрстед выяснил, что напряженность поля вдоль окружности L = 2πR постоянна по величине и направлена по касательной к ней. Такое поведение поля теоретики называют циркуляцией. Эрстед предположил, что ток создает вокруг себя циркуляцию магнитного поля, которая пропорциональна силе тока. Остаётся найти связь силы тока, порождающего циркуляцию поля H, с электрическим полем E, возникающим вокруг провода с током I = Q/t.
Для составления уравнения можно обратиться к теореме Гаусса, согласно которой поток поля E вблизи провода равен Е S = Q/ε0 = I*t/ ε0, где S – поверхность провода.
Учитывая, что S = 2πrl, где r – радиус, l – длина провода, можно написать: Е = Q/2πrlε0 = It/2πrlε0, или: Е/t = I/2πrlε0 (36.1). Умножим обе части (36.1) на ε0 и введем обозначения: I/2πrl = j (плотность тока), и Еε0 = D (так называемое поле электрического смещения). Тогда уравнение (36.1) переходит в уравнение j = D/t (36.2). Другими словами, скорость изменения электрического смещения равна плотности тока, которая, как указал Эрстед, пропорциональна напряженности циркуляции магнитного поля Н. Это простое уравнение равносильно второму принципу Максвелла: «Циркуляция магнитного поля пропорциональна скорости изменения поля электрического смещения».
