В 1748 году он опубликовал Introductio in analysin infinitorum ("Введение в анализ бесконечных"), шедевр в двух томах, который вместе с Instituciones calculi differentialis ("Дифференциальное исчисление") 1755 года и с трехтомным Instituciones calculi integralis ("Интегральное исчисление") 1768-1770 годов входит в непревзойденную по сей день научную трилогию. Появление этих работ разделило математику на до и после, особенно в области анализа. Франсуа Араго (1786-1853) назвал Эйлера "анализом, воплощенном в человеке", а историк математики Карл Бенджамин Бойер (1906-1976) ставил его работы в один ряд с трудами Евклида, Ньютона, Гаусса и Декарта и даже впереди их всех, поскольку они имеют большее педагогическое значение. Вот что пишет Бойер:
"Можно сказать, что Эйлер сделал с исчислением Ньютона и Лейбница то, что Евклид сделал с геометрией Евдокса или Ви- ет — с алгеброй Кардано и Аль-Хорезми. Эйлер взял дифференциальное исчисление Лейбница и метод Ньютона и поместил их в более общую область математики, которая с этого момента стала называться анализом, то есть изучением функций и бесконечных процессов".
Это изменение касалось не только содержания, но и математической символики. В качестве упражнения может быть полезно почитать эти книги и убедиться, что они понятны и сегодня. Клиффорд Трусделл (1919-2000), выдающийся американский физик, писал по этому поводу:
"Эйлер был первым ученым в западной цивилизации, кто стал писать о математике ясным и легким для чтения языком. Он объяснил своим современникам, что вычислению бесконечно малых величин может научиться, приложив небольшие старания, любой разумный человек. Он справедливо славился чистотой своего стиля и честностью, с которой обращался к читателю, когда испытывал трудности".
Некоторые разработки Эйлера в области анализа интересны только узким специалистам, и мы ограничимся их перечислением: это гипергеометрические ряды, гиперболические функции, дифференциальные уравнения, эллиптические функции и комплексные интегралы.
База, на которой основано одно из самых важных открытий, описанных в Introductio in analysin infinitorum,— это формула Муавра. Современный математик записал бы ее так:
(cosx + isinx)n = cosnx + isinnx.
Сам де Муавр записал ее в 1730 году в более сложном виде, но в соответствии с традицией того времени:
АБРАХАМ ДЕ МУАВР
Абрахам де Муавр родился в 1667 году во французском регионе Шампань, однако карьеру сделал в Великобритании, куда бежал от религиозных преследований протестантов, начавшихся после того, как в 1685 году Людовик XIV отменил Нантский эдикт. В Лондоне он оказался в стесненных обстоятельствах и зарабатывал на жизнь частными уроками и игрой в шахматы. Де Муавр близко подружился с Эдмундом Галлеем (1656-1742) и Ньютоном, с которым он каждый день пил кофе и который, как говорят, каждый раз, когда ему задавали вопрос о вычислениях, отвечал: "Спросите де Муавра, он разбирается в этом лучше". Кроме этого, де Муавр дружил с Лейбницем, Эйлером и семьей Бернулли, однако все эти связи не помогли ему найти постоянную работу. Он был превосходным математиком: именно ему принадлежит введение в теорию вероятностей независимых событий — результат, приближающий к понятию распределения статистических данных в виде колокола Гаусса. Также де Муавр изучал вопрос ренты в работе Annuities in life ("Пожизненная рента"), опубликованной в 1724 году и основанной на одном из сочинений Галлея. В области анализа де Муавру принадлежит заслуга асимптотического представления факториала. Впоследствии эта формула станет известна как формула Стирлинга:
n! = √(2πn)(n/e)n.
Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:
(cosx + /sinx)n = cosnx + isinnx.
Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.
Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):
еix = cosx + isinx,
и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:
ех+iy = ех (cosу + isiny).
Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:
ex = Σn=0∞xn/n! = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...
В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.
Если мы подставим вместо х число π, то, по формуле Эйлера, получим:
eix = cosπ + isinπ = -1 + i0 = -1,
а перенеся -1:
eix + 1 = 0.
Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.
В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:
alogºx = x.
а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением π, то есть 2kπ. В частности:
ln(-1) = iπ + 2kπ(k € Z),
что приводит нас к таким выражениям, как
ii = eilni = e(-π/2) ~ 0,2078795764.
В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,
который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +
+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...
≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,
показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
В таком виде кажется, что его сумма равна 0:
(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,
а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.
На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда
1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...
Подставив вместо х число -1, он пришел к
1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + (-1)5 + ...
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.
то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.
К арсеналу уже известных к тому времени рядов
Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим
π/(3√3) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...
π/(2√2) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...
π/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...
π2/(8√2) = 1 - 1/32 - 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...
π2/(6√3) = 1 - 1/52 - 1/72 + 1/112 + 1/132 + ...
1 -1! + 2! -3! + ... = 0,596347362123...
Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:
